Остывание супа

Будем считать тарелки цилиндрическими. Обозначим радиус и высоту большой тарелки через \(R\) и \(H\), а радиус и высоту маленькой тарелки через \(r\) и \(h\). Пусть масса супа в большой тарелке равна \(M\), а его объём \(V\). Тогда масса супа в маленькой тарелке \(m = M/n = M/8\).

Подобие тарелок означает, что их радиусы \(R\) и \(r\) и глубины \(H\) и \(h\) отличаются друг от друга в одно и то же число раз \(N\): \[r = \dfrac{R}{N},\quad h = \dfrac{H}{N}.\] Значит, объёмы большой и маленькой тарелок \(V\) и \(v\) и массы супа в них связаны соотношением: \[\dfrac{M}{m} = \dfrac{V}{v} = \dfrac{\pi R^2H}{\pi r^2h} = N^3 = n,\] откуда \(N = \sqrt[3]{n} = 2\), то есть маленькая тарелка по размерам вдвое меньше большой.

По условию задачи, для каждой из тарелок теплоотдача происходит с поверхности супа в соответствии с законом \[\dfrac{\Delta Q}{\Delta t} = \alpha S(T - T_0),\] где \(\Delta Q\) — количество теплоты, отдаваемое за время \(\Delta t\) с поверхности площадью \(S\); \(T\) и \(T_0\) — начальная температура супа и температура окружающей среды; \(\alpha\) — постоянный коэффициент пропорциональности. С другой стороны, известно, что при остывании супа на \(\Delta T\) градусов он отдаёт количество теплоты \(\Delta Q = CM\Delta T\), где \(C\) — удельная теплоёмкость супа. Значит, справедливо равенство \[\dfrac{CM\Delta T}{\Delta t} = \alpha S(T - T_0).\] Учитывая, что площадь поверхности тарелки пропорциональна квадрату её радиуса (\(S \sim R^2\)), а масса супа пропорциональна его объёму (\(M \sim R^2H\)), для скорости остывания супа получаем: \[\dfrac{\Delta T}{\Delta t} = \dfrac{\alpha S}{CM}(T - T_0) \sim \dfrac{\alpha R^2}{CR^2H}(T - T_0) \sim \dfrac{T - T_0}{H}.\] Таким образом, мы установили, что при одинаковой разности начальной температуры супа и температуры окружающей среды скорость остывания супа обратно пропорциональна глубине тарелки, то есть для большой тарелки, высота которой \(H = Nh = \sqrt[3]{n}\cdot h = 2h\), скорость охлаждения будет вдвое меньше, чем для маленькой. Отсюда следует, что время охлаждения маленькой тарелки будет в \(\sqrt[3]{n} = 2\) раза меньше, чем большой, то есть суп из маленькой тарелки можно будет есть через \[t' = \dfrac{t}{\sqrt[3]{n}} = 10\text{ минут}.\]