Два стержня

При одинаковой теплопроводности температура вдоль составного стержня меняется линейно; удлинение каждого стержня найдите по его средней температуре.

\(l=l_1+l_2+\dfrac{L_1-l_1}{T_2-T_1}(T_{\text{ср}1}-T_1)+\dfrac{L_2-l_2}{T_2-T_1}(T_{\text{ср}2}-T_1)\), где \(T_3=\dfrac{T_1l_2+T_2l_1}{l_1+l_2}\), \(T_{\text{ср}1}=\dfrac{T_1+T_3}{2}\), \(T_{\text{ср}2}=\dfrac{T_3+T_2}{2}\).

11-5. Так как теплопроводности стержней одинаковы, то температура вдоль стержней будет изменяться по линейному закону. Температура точки соединения стержней \(T_3\) может быть найдена из соотношения

\[T_3 = T_1 + \frac{T_2 - T_1}{l_1 + l_2} l_1 = \frac{T_1 l_2 + T_2 l_1}{l_1 + l_2},\tag{1}\]

при выводе которого считается, что удлинения стержней малы. Теперь не трудно вычислить средние температуры стержней

\[T_{\text{ср1}} = \frac{T_1 + T_3}{2}, \quad T_{\text{ср2}} = \frac{T_3 + T_2}{2}.\tag{2}\]

Удлинения стержней пропорциональны изменению температуры

\[\Delta l = k \Delta T,\]

причем коэффициенты пропорциональности следует выразить через приведенные в условии данные

\[k_{1}=\frac{L_{1}-l_{1}}{T_{2}-T_{1}}, k_{2}=\frac{L_{2}-l_{2}}{T_{2}-T_{1}}.\tag{3}\]

Окончательно, получим искомую длину

\[l=l_{1}+k_{1}\left(T_{\text{ср}1}-T_{1}\right)+l_{2}+k_{2}\left(T_{\text{ср}2}-T_{1}\right),\]

где все параметры этого выражения известны.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.