Груз между двумя блоками

Скорости и ускорения грузов связаны геометрией нити (разложите движение среднего груза по нити и поперёк неё); скорость среднего груза находится из закона сохранения энергии.

\(a=\dfrac{g}{4}\), ускорение среднего груза направлено вверх.

11-3. Обозначим расстояние между блоками \(2l\). Запишем уравнения второго закона Ньютона для двух грузов

\[\begin{aligned} T - mg &= ma_0, \\ mg - T\sqrt{2} &= ma_1. \end{aligned}\tag{1}\]

(Чтобы не усложнять формулы мы сразу учитываем, что нить изогнута под прямым углом).

Установим связь между величинами ускорений грузов \(a_0\) и \(a_1\). Представим движение центрального груза как суперпозицию двух

движений: вращения вокруг точки О со скоростью \(\vec{v}'_1\) направленной перпендикулярно нити; увеличение радиуса вращения со скоростью \(\vec{v}''_1\), направленной вдоль нити. Очевидно, что \(\vert \vec{v}''_1\vert = v_0\) — скорости бокового груза. Так как, сумма скоростей \(\vec{v}''_1\) и \(\vec{v}'_1\) направлена вертикально вниз (это скорость груза \(\vec{v}_1\)), то \(\vert \vec{v}'_1\vert = \vert \vec{v}''_1\vert = v_0\) и

\[v_1 = v_0 \sqrt{2}.\tag{2}\]

Согласно разложению движения на составляющие, разложим и

ускорение центрального груза. Вращательному движению соответствует центростремительное ускорение \(\vec{a}_{1c}\), направленное вдоль нити (равное \(\frac{v_0^2}{l\sqrt{2}}\)), и тангенциальное \(\vec{a}_{1\tau}\), направленное перпендикулярно нити. Увеличению длины нити соответствует ускорение \(\vec{a}''_1\), направленное вдоль нити и равное по модулю \(a_0\) — ускорению бокового груза. Следовательно, модуль полного ускорения

\[a_1 = \left( a_0 - \frac{v_0^2}{l\sqrt{2}} \right) \sqrt{2}.\tag{3}\]

Заметим, что эти же соотношения между скоростями и ускорениями грузов можно получить с помощью операции дифференцирования. Запишем закон сохранения энергии для того, чтобы выразить скорость центрального груза

\[2 \frac{m v_0^2}{2} + \frac{m v_1^2}{2} = mgl - 2mgl(\sqrt{2} - 1).\tag{4}\]

Решая совместно (2)-(4) можно найти \(a_1 = -\frac{g}{4}\), то есть ускорение направлено вверх.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.