Крутильные колебания диска

При повороте диска на малый угол он приподнимается, и потенциальная энергия пропорциональна массе; момент инерции от груза на оси не меняется.

Период уменьшится в \(\sqrt{2}\) раз.

11-2. При повороте диска на малый угол \(\alpha\) вокруг собственной оси он приподнимается на высоту

\[h \approx l - \sqrt{l^2 - (R\alpha)^2} \approx \frac{R^2\alpha^2}{2l}.\]

Потенциальная энергия при этом увеличивается на

\[\Delta E_n = mg\frac{R^2\alpha^2}{2l}.\]

При вращении диска с угловой скоростью \(\omega\), его кинетическая энергия равна

\[E_k = \frac{J\omega^2}{2},\]

где \(J\) — постоянный коэффициент (момент инерции), зависящий от распределения масс. Закон сохранения энергии при вращательных колебаниях записывается в виде

\[\frac{J\omega^2}{2} + mg\frac{R^2\alpha^2}{2l} = const.\tag{1}\]

Проводя аналогию с колебаниями груза на пружине

\[\frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = const,\tag{2}\]

можно выразить период колебаний диска

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{Jl}{mgR^2}}.\tag{3}\]

Если на диск положить груз, как сказано в условии задачи, то выражение для кинетической энергии (момент инерции \(J\)) не изменится, так как скорость груза, находящегося на оси вращения, равна нулю. Масса же системы увеличится в два раза, следовательно, согласно (3), период колебаний уменьшится в \(\sqrt{2}\) раз.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.