Блоки и два груза

Из условия задачи следует, что сила натяжения нити \(F\) везде вдоль нити одна и та же. До начала движения, очевидно, эта сила равна \(F_0 = mg\), а груз \(2m\) не давит на пол. В начале движения сила увеличивается на некоторую величину \(\Delta F\) на короткое время \(\Delta t\), за счёт чего грузы начинают двигаться вверх со скоростями \(v_1\) и \(v_2\). По закону изменения импульса можно записать: \[\Delta F\cdot\Delta t = mv_1;\quad 2\Delta F\cdot\Delta t = 2mv_2,\] откуда следует, что \(v_1 = v_2\). В дальнейшем эти скорости будут оставаться постоянными, а сила натяжения снова станет равной \(F_0 = mg\). Поскольку конец нити вытягивают со скоростью \(v\), а длина нити \(L\), можно записать для двух моментов времени выражение для длины нити через координаты блоков и грузов (см. рисунок):

\[x_{\text{к}} - x_2 + x_0 - x_2 + x_0 - x_1 + 2\pi R = L;\] \[(x_{\text{к}} + vt) - (x_2 + v_1t) + x_0 - (x_2 + v_1t) + x_0 - (x_1 + v_1t) + 2\pi R = L.\qquad(1)\] Вычитая из второго уравнения первое, получаем: \(vt - 3v_1t = 0\), или \(v_1 = v_2 = v/3\).

Задача может быть решена и другим способом, путём рассмотрения уравнений движения грузов на этапе их разгона от состояния покоя до конечной скорости. Обозначая ускорения грузов \(m\) и \(2m\) через \(a_1\) и \(a_2\) соответственно, получаем уравнения движения: \(F - mg = ma_1\); \(2F - 2mg = 2ma_2\). Отсюда \(a_1 = a_2\).

Из уравнения кинематической связи (1) следует, что \(x_{\text{к}} - 2x_2 - x_1 = \text{const}\), следовательно, в каждый момент времени скорости грузов \(v_1(t)\), \(v_2(t)\) и конца нити \(v_{\text{к}}(t)\) связаны соотношением \(v_{\text{к}}(t) = 2v_2(t) + v_1(t)\), а связь соответствующих ускорений имеет вид: \(a_{\text{к}} = 2a_2 + a_1\). С учётом равенства ускорений грузов получаем \(a_1 = a_2 = a_{\text{к}}/3\). Поскольку ускорения грузов в каждый момент времени одинаковы, а в начальный момент времени грузы покоятся, то скорости, которые приобретут грузы, также будут одинаковы и равны \(v_1 = v_2 = v/3\).