Звук по стержню и воде

Обозначим точку удара по первому стержню через \(A\), а точку, в которой принимают звуковой сигнал — через \(B\) (см. рис. 1). В зависимости от соотношения между параметрами, заданными в условии задачи, звук быстрее дойдёт до точки \(B\) или при распространении по прямой \(AB\), или при распространении сначала вдоль стержня, а затем по воде.

При \(c \geqslant v\) звуковой сигнал, очевидно, быстрее дойдёт до точки \(B\), распространяясь по прямой \(AB\). Время распространения сигнала в этом случае будет равно \[T_1 = \dfrac{\sqrt{a^2 + l^2}}{c}.\] Пусть \(c < v\). Рассмотрим два сигнала, одновременно вышедших из точки \(A\), один из которых идёт по прямой сразу в точку \(B\), а другой сначала распространяется на малое расстояние \(x\) по стержню до точки \(D\), а затем идёт в точку \(B\) по воде. Обозначим \(\angle CAB = \alpha\). Разность \(AB - DB\) в силу малости \(x\) приближённо равна произведению \(x\cos\alpha\). Следовательно, разность времён распространения сигналов по путям \(AB\) и \(DB\) равна \[\Delta t = \dfrac{AB}{c} - \left(\dfrac{x}{v} + \dfrac{DB}{c}\right) = \dfrac{x\cos\alpha}{c} - \dfrac{x}{v}.\] При выполнении условия \[\cos\alpha = \dfrac{l}{\sqrt{a^2 + l^2}} < \dfrac{c}{v}\] разность \(\Delta t\) отрицательна, и звук быстрее дойдёт до точки \(B\) по прямой, затратив на это время \(T_1\). При \(\cos\alpha > \dfrac{c}{v}\) разность \(\Delta t\) положительна, то есть звуковой сигнал быстрее дойдёт до точки \(B\) по ломаной линии (распространяясь сначала вдоль стержня, а затем по воде).

Пусть в последнем случае звук доходит по стержню до некоторой точки \(A'\) (см. рис. 2), для которой \(\cos\alpha' = \dfrac{c}{v}\), и начинает распространяться по прямой \(A'B\). Время распространения этого сигнала \[T_2 = \dfrac{l - \dfrac{a}{\operatorname{tg}\alpha'}}{v} + \dfrac{a}{c\sin\alpha'} = \dfrac{l}{v} + a\left(\dfrac{1}{c\sin\alpha'} - \dfrac{1}{v\operatorname{tg}\alpha'}\right).\] Так как \(\cos\alpha' = \dfrac{c}{v}\), то \(\sin\alpha' = \sqrt{1 - \dfrac{c^2}{v^2}}\), \(\operatorname{tg}\alpha' = \sqrt{\dfrac{v^2}{c^2} - 1}\), и \[T_2 = \dfrac{l}{v} + a\sqrt{\dfrac{1}{c^2} - \dfrac{1}{v^2}}.\] Объединяя рассмотренные случаи, получаем ответ для минимального времени распространения звука между точками \(A\) и \(B\): \[T = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{a^2 + l^2}}{c} & \text{при}\ \dfrac{c}{v} \geqslant \dfrac{l}{\sqrt{a^2 + l^2}};\\ \dfrac{l}{v} + a\sqrt{\dfrac{1}{c^2} - \dfrac{1}{v^2}} & \text{при}\ \dfrac{c}{v} < \dfrac{l}{\sqrt{a^2 + l^2}}. \end{cases}\] Отметим, что при одновременном выполнении условий \(c < v\) и \(\cos\alpha > \dfrac{c}{v}\) сигнал может распространяться как по пути \(AA'B\), так и по путям \(AB'B\) и \(AA''B''B\). При этом сигналы, распространяющиеся по всем трём путям, достигнут точки \(B\) одновременно, но их интенсивности будут различными. Сигналы, прошедшие по путям \(AA'B\) и \(AB'B\), преломляются на границе стержень–вода по одному разу и будут иметь примерно одинаковую амплитуду, а сигналы, прошедшие по всем путям типа \(AA''B''B\), преломляются по два раза и будут гораздо слабее. Заметим также, что после первого сигнала, пришедшего в точку \(B\), будет слышен довольно продолжительный гул, так как звук излучают все точки стержня, по которому бежит волна от удара, но эти сигналы приходят позже. Ситуация в этом случае напоминает то, что слышно при пролёте сверхзвукового самолёта или ударе молнии: вначале наблюдатель слышит удар, а затем раскаты.

В заключение отметим, что задачу можно решать и другим способом, строя так называемый «конус Маха».