Эхолот

В соответствии с условиями задачи морское дно в месте отплытия корабля приближённо можно рассматривать в виде двух наклонных плоскостей \(AB\) и \(BC\) (левый рисунок), углы наклона которых \(\alpha\) и \(\beta\). Подтверждением плоской модели у самого берега служат приведённые в условии результаты акустических измерений: \[\frac{h_1}{L_1} = \frac{150}{100} \approx \frac{h_2}{L_2} = \frac{200}{140} \approx \frac{h_3}{L_3} = \frac{300}{250} \approx 1{,}4.\] Полученное отношение равно \(\operatorname{tg}\alpha\). Отсюда следует, что у берега дно опускается под углом \(\alpha \approx 55{}^\circ\) к горизонту.

Происхождение второго отражённого сигнала эхолота ясно из показанного стрелками на правом рисунке хода акустического луча. Нужно найти положение плоскости \(BC\). Точка, в которой происходит отражение луча, должна быть расположена, с одной стороны, так, чтобы было обеспечено зарегистрированное эхолотом время прохождения через неё акустического луча. С другой стороны, необходимо, чтобы угол падения акустического луча на плоскость \(BC\) был равен углу его отражения\(^{1}\). Этим условиям удовлетворяет точка \(M\), принадлежащая участку эллипса, изображённого на правом рисунке, где \(F_1\) и \(F_2\) — фокусы эллипса. Расстояние \(F_1F_2\) равно \(h_3\) (левый рисунок). Заданная в условии величина \(h_4\) получается аналогично \(h_1\), \(h_2\) и \(h_3\) умножением скорости звука на половину интервала времени между принятым и отправленным эхолотом сигналами, то есть \[h_4 = \frac12(F_1F_2 + F_2M + MF_1) = \frac12(h_3 + 2a) = \frac12 h_3 + a, \tag{7}\] где \(a\) — большая полуось эллипса. Поскольку нормаль эллипса \(\vec n\) в точке \(M\) является биссектрисой угла \(F_2MF_1\), искомая плоскость \(BC\) — касательная к эллипсу в этой точке. Найдём тангенс угла наклона касательной: \[\operatorname{tg}\beta = -\frac{dx}{dy}, \tag{8}\] где \(x\) и \(y\) — координаты точки эллипса \(M\). Они связаны уравнением эллипса \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. \tag{9}\] Дифференцируя уравнение (9), получим \[\operatorname{tg}\beta = \frac{a^2}{b^2}\frac{y}{x}. \tag{10}\] Большая полуось эллипса находится из уравнения (7): \[a = h_4 - \frac12 h_3 = 250\text{ м}. \tag{11}\] Численные вычисления целесообразно использовать в связи с громоздкостью выражений в общем виде. Найдём малую полуось эллипса: \[b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{h_4^2 - h_4h_3} = 200\text{ м}. \tag{12}\] Координаты \(x\) и \(y\) точки \(M\) удовлетворяют не только уравнению эллипса (9), но и, как следует из правого рисунка, соотношению \[x = -\frac{y}{\operatorname{tg}2\alpha} + \frac{h_3}{2} = 0{,}364y + 150, \tag{13}\] где \(x\) и \(y\) измеряются в метрах. Подставляя соотношение (13) в формулу (9), получим квадратное уравнение для нахождения \(y\): \[2{,}712\cdot 10^{-5}y^2 + 1{,}747\cdot 10^{-3}y - 0{,}640 = 0.\] Отсюда \(y = 125\) м, и из формулы (13) находим \(x = 195\) м. С найденными значениями из уравнения (10) получаем \(\beta = 45{}^\circ\).