Два груза

Скользя вдоль стержня, грузы многократно сталкиваются друг с другом и с полом. Из законов сохранения энергии и импульса следует, что при абсолютно упругом столкновении двух тел одинаковых масс происходит обмен импульсами. Поэтому задача эквивалентна задаче о движении вдоль стержня одного груза, многократно отскакивающего от пола.

Найдём вначале высоту \(H_1\), на которую подскочит груз после первого удара о пол, и время \(t_1\), спустя которое он там окажется. Для этого применим закон изменения энергии: \[\frac{mv^2}{2} = mg(H_1 - H) + F(H + H_1), \tag{14}\] где \(m\) — масса груза, \(g\) — ускорение свободного падения. Отсюда находим \[H_1 = \frac{mv^2 + 2H(mg - F)}{2(mg + F)} \approx H + \frac{v^2}{2g}, \tag{15}\] если учесть, что \(F \ll mg\). Время \(t_d\) падения груза с высоты \(H\) является корнем уравнения \[H = vt_d + \frac{a_dt_d^2}{2},\] где \(a_d = g - \dfrac{F}{m} \approx g\) — ускорение падающего груза. Находим \[t_d = \frac{-v + \sqrt{v^2 + 2gH}}{g}. \tag{16}\] Время \(t_u\) последующего подъёма до высоты \(H_1\) составляет \[t_u = \sqrt{\frac{2H_1}{g + \dfrac{F}{m}}} \approx \sqrt{\frac{2H_1}{g}}, \tag{17}\] так что \(t_1 = t_u + t_d\). Это по порядку величины составляет \(\sqrt{2H_1/g}\).

При последующих многократных отскоках от пола высота подъёма \(h\) будет становиться всё меньше, пока \(h\) не обратится в нуль. Если время \(\Delta t\) между двумя подскоками много меньше времени затухания колебаний груза, то \(h\) можно приблизительно считать непрерывной функцией времени. За малый промежуток времени \(dt = \Delta t\) высота подскоков уменьшается на \(dh\). Величину \(dh\) можно найти из закона изменения энергии: \[-mg\,dh = F\cdot 2h, \qquad -dh = \frac{2F}{mg}h. \tag{18}\] Время между двумя ближайшими подскоками составляет \[dt = 2\sqrt{\frac{2h}{g}}. \tag{19}\] Из формул (18) и (19) получим \[-\frac{dh}{\sqrt h} = \frac{F}{mg}\sqrt{\frac{g}{2}}\,dt.\] Интегрируя это уравнение при начальном условии \(t = 0\) и \(h = H_1\), получим \[h = \left(\sqrt{H_1} - \frac{Ft}{2m\sqrt{2g}}\right)^2,\] откуда следует, что при \(h = 0\) выполняется равенство \[t = \tau = \frac{2m\sqrt{2gH_1}}{F}. \tag{20}\] Полное время движения груза \(t_f = \tau + t_1\). Сравнивая равенства (20) и (17), приходим к заключению, что \[\frac{t_1}{\tau} \approx \frac{F}{mg} \ll 1,\] так что получаем искомое полное время движения: \[t_f = \tau = \frac{2m\sqrt{2gH + v^2}}{F}.\] В задаче рассмотрена колебательная система, в которой происходят затухающие колебания. Однако они отличаются от привычных квазигармонических затухающих колебаний: график их вовсе не похож на синусоиду, а затухание происходит за конечный промежуток времени (см. рисунок).