Электрочайник

Температура чайника при мощности \(P\) перестаёт увеличиваться, достигнув установившегося значения \(t\), когда энергия, потребляемая из сети за время \(d\tau\), целиком передаётся в окружающую среду, то есть \[P\,d\tau = k(t - t_0)\,d\tau, \tag{156}\] где \(k\) — коэффициент теплоотдачи, \(t_0\) — температура окружающей среды. Линейная зависимость \(P\) от \(t - t_0\), описываемая формулой (156), подтверждается результатами, приведёнными в таблице 1. Таблица также позволяет найти \(k\) как угловой коэффициент этой зависимости \[k = \frac{\Delta P}{\Delta t} = 5\,\frac{\text{Дж}}{\text{с}\cdot\text{К}}. \tag{157}\] При охлаждении чайника с горячей водой справедливо равенство \[(cm + C_0)\,dt = -k(t - t_0)\,d\tau, \tag{158}\] где \(m\) — масса воды в чайнике, \(dt\) — изменение его температуры за время \(d\tau\).

Перепишем уравнение (158): \[\frac{dt}{d\tau} = -\frac{k(t - t_0)}{cm + C_0}.\] В начале охлаждения, при \(t = t_f = 80\,{}^\circ\text{C}\), имеем \[B = \frac{dt}{d\tau} = -\frac{k(t_f - t_0)}{cm + C_0}. \tag{159}\] Отношение \(B = dt/d\tau\) равно угловому коэффициенту графика зависимости \(t(\tau)\) в точке \(\tau = 0\). Этот угловой коэффициент можно приближённо найти из таблицы 2 по двум-трём первым точкам: \[B \approx -0{,}080\,\frac{\text{К}}{\text{с}}.\] Подставляя \(B\) в формулу (159), получим объём \(V\) воды в чайнике: \[V = \frac{m}{\rho} = \frac{-k(t_f - t_0) - BC_0}{Bc\rho} \approx 0{,}9\text{ л}.\] Если проинтегрировать уравнение (158), то получится \[t - t_0 = (t_f - t_0)e^{-\frac{k\tau}{cm + C_0}} = (t_f - t_0)e^{-B\frac{\tau}{t_f - t_0}}.\] На рисунке представлены точки, полученные из таблицы 2, и график этой функции при найденном значении \(B\). Видно, что выполненные расчёты согласуются с экспериментом.