Кастрюля на плите: вода и спирт

Часть тепла плиты уходит в воздух, причём тем больше, чем горячее кастрюля. При одной и той же температуре кастрюли плита с потерями даёт нагреванию одну и ту же мощность в обоих опытах.

\(c_{\text{с}}\approx2{,}4\cdot10^3\) Дж/(кг\(\cdot\)К); \(L\approx6\cdot10^5\) Дж/кг.

Что происходит. Плита отдаёт кастрюле мощность \(P\), часть её уходит в воздух, и эти потери зависят только от температуры кастрюли (кастрюля и плита те же). Остальное, \(P_{\text{п}}(t)=P-P_{\text{пот}}(t)\), идёт на нагревание кастрюли с содержимым, а при кипении — на испарение. Главная идея: при одной и той же температуре полезная мощность \(P_{\text{п}}\) в обоих опытах одинакова, и по воде, теплоёмкость которой известна, находим её, а затем теплоёмкость спирта и теплоту парообразования.

Обозначения. \(c_{\text{в}}=4200\) Дж/(кг\(\cdot\)К), \(m_{\text{в}}=0{,}5\) кг (0,5 л воды), \(m_{\text{с}}=0{,}7\) кг, \(C=200\) Дж/К — теплоёмкость кастрюли; \(C_{\text{в}}=c_{\text{в}}m_{\text{в}}+C=2300\) Дж/К и \(C_{\text{с}}=c_{\text{с}}m_{\text{с}}+C\) — теплоёмкости кастрюли с водой и со спиртом.

1. Нагревание. Закон сохранения энергии для кастрюли с содержимым за малое время \(d\tau\) при температуре \(t\) (ниже кипения): полезное тепло \(P_{\text{п}}(t)\,d\tau\) идёт на нагревание, \(C_{\text{ж}}\,dt\) (индекс ``ж'' — вода или спирт). Отсюда \(d\tau=C_{\text{ж}}\,dt/P_{\text{п}}(t)\). Время нагревания в одном и том же интервале температур от \(t_1\) до \(t_2\) в обоих опытах содержит один и тот же интеграл \(\int dt/P_{\text{п}}\), поэтому \[\frac{\Delta\tau_{\text{с}}}{\Delta\tau_{\text{в}}}=\frac{C_{\text{с}}}{C_{\text{в}}}.\]

2. Отсчёты на графике. Возьмём интервал от \(40\) до \(60\,^\circ\text{C}\) (кривые уже разошлись, а спирт ещё не подошёл к кипению). Спирт нагревается с \(40\) до \(60\,^\circ\text{C}\) от \(\tau\approx2{,}6\) мин до \(6{,}0\) мин, то есть за \(3{,}4\) мин; вода — от \(4{,}0\) до \(8{,}2\) мин, за \(4{,}2\) мин (рис.). Тогда \[C_{\text{с}}=C_{\text{в}}\frac{\Delta\tau_{\text{с}}}{\Delta\tau_{\text{в}}}=2300\cdot\frac{3{,}4}{4{,}2}\ \text{Дж/К}\approx1{,}9\cdot10^3\text{ Дж/К},\] \[c_{\text{с}}=\frac{C_{\text{с}}-C}{m_{\text{с}}}=\frac{1{,}86\cdot10^3-200}{0{,}7}\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}\approx2{,}4\cdot10^3\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}.\]

Обратите внимание: интервал нельзя брать у самого кипения: выше \(\approx65\,^\circ\text{C}\) кривая спирта загибается к полке \(78\,^\circ\text{C}\) (начинается кипение), и отношение времён перестаёт быть отношением теплоёмкостей.

3. Кипение. Спирт кипит при постоянной температуре \(t_{\text{к}}=78\,^\circ\text{C}\), вся полезная мощность идёт на испарение. Закон сохранения энергии для кастрюли со спиртом за время кипения \(\tau_{\text{к}}=30\text{ мин}=1800\) с: \(P_{\text{п}}\tau_{\text{к}}=L\,\dfrac{m_{\text{с}}}2\). Полезную мощность при \(78\,^\circ\text{C}\) находим по воде, которая проходит эту температуру при нагревании: за \(2{,}4\) мин (\(\tau\approx11{,}8\ldots14{,}2\) мин) вода нагревается с \(74\) до \(81\,^\circ\text{C}\), то есть \(\dot t_{\text{в}}\approx7/2{,}4\approx2{,}9\,^\circ\text{C}/\text{мин}\) (рис.). Тогда \[P_{\text{п}}(78\,^\circ\text{C})=C_{\text{в}}\dot t_{\text{в}}=2300\cdot\frac{2{,}9}{60}\text{ Вт}\approx1{,}1\cdot10^2\text{ Вт}.\]

4. Теплота парообразования. \[L=\frac{2P_{\text{п}}\tau_{\text{к}}}{m_{\text{с}}}=\frac{2\cdot111\text{ Вт}\cdot1800\text{ с}}{0{,}7\text{ кг}}\approx5{,}7\cdot10^5\text{ Дж/кг}\approx6\cdot10^5\text{ Дж/кг}.\] Ответ матрёшкой: \(c_{\text{с}}=\dfrac{C_{\text{в}}\Delta\tau_{\text{с}}/\Delta\tau_{\text{в}}-C}{m_{\text{с}}}\approx2{,}4\cdot10^3\) Дж/(кг\(\cdot\)К); \(L=\dfrac{2C_{\text{в}}\dot t_{\text{в}}(78\,^\circ\text{C})\,\tau_{\text{к}}}{m_{\text{с}}}\approx6\cdot10^5\) Дж/кг.

Проверка. Размерность: \(\text{Вт}\cdot\text{с}/\text{кг}=\text{Дж/кг}\). Знак: спирт нагревается быстрее воды при меньшей теплоёмкости (\(1{,}9\cdot10^3<2{,}3\cdot10^3\) Дж/К), \(c_{\text{с}}<c_{\text{в}}\), как и должно быть. Табличное значение \(c_{\text{с}}\approx2{,}4\cdot10^3\) Дж/(кг\(\cdot\)К) совпало. По таблице \(L\approx8{,}5\cdot10^5\) Дж/кг: ответ по графику на четверть ниже — наклон кривой воды в точке \(78\,^\circ\text{C}\) на рисунке с толстыми линиями определяется с точностью около \(10\)–\(15\,\%\), и ответ следует читать как \((6\pm1)\cdot10^5\) Дж/кг.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.