Проводник на пружинах в магнитном поле

Есть ли в этой цепи замкнутый контур? Посмотрите, куда подвешены пружины. Если тока нет, нет и силы Ампера.

Магнитное поле на движение не влияет: проводник совершает гармонические колебания по вертикали с периодом \(T=2\pi\sqrt{M/k}\) около положения равновесия, амплитуда равна начальному смещению; тока нет, между концами проводника возникает лишь разность потенциалов \(\mathcal E=Blv\).

Что происходит. Проводник движется в магнитном поле, и на свободные электроны действует сила Лоренца вдоль проводника: концы заряжаются разноимённо. Ток мог бы идти по пружинам, но они подвешены к диэлектрику, и их верхние концы между собой не соединены: замкнутого контура нет. Накопить заряд на концах можно лишь ёмкостью проводников, а она по условию пренебрежимо мала. Поэтому ток ничтожен, силы Ампера нет, и на проводник действуют только сила тяжести и силы упругости. Это пружинный маятник, и магнитное поле ему безразлично.

Обозначения. Ось \(y\) направлена вертикально вверх, \(y=0\) в положении равновесия; \(v=\dot y\); \(k\) — жёсткость пары пружин вместе (при параллельном соединении двух одинаковых пружин \(k=2k_1\)); \(A\) — начальное смещение.

1. Разность потенциалов на концах. При скорости \(v\) на электрон в проводнике действует сила Лоренца \(evB\) вдоль проводника. Заряды разделяются, пока созданное ими электрическое поле не уравновесит эту силу: \(eE=evB\), откуда \(E=vB\) и разность потенциалов между концами \[\mathcal E=El=Blv .\] Заряд, который надо перенести, равен \(q=C\mathcal E\) при ёмкости \(C\to0\). Ток \(I=\dfrac{dq}{dt}=C\dfrac{d\mathcal E}{dt}\to0\), сила Ампера \(F_{\text{А}}=IBl\to0\). Обратите внимание: рассуждение ``проводник движется в поле, значит, возникает ЭДС и тормозящая сила Ампера, колебания затухают'' здесь неверно именно потому, что цепь разомкнута: ЭДС есть, тока нет.

2. Второй закон Ньютона. Равновесие: \(Mg=k\,\Delta l_0\), удлинение пружин \(\Delta l_0=Mg/k\). При смещении на \(y\) от равновесия равнодействующая силы тяжести и упругости \(-ky\) (линейный закон Гука, пружины невесомы). Второй закон Ньютона для проводника в проекции на ось \(y\): \[M\ddot y=-ky\ \Rightarrow\ y=A\cos\omega t,\qquad \omega=\sqrt{\frac kM},\quad T=2\pi\sqrt{\frac Mk}\] (отпустили без начальной скорости; если сместили вверх, \(A>0\), вниз — \(A<0\)). Колебания — те же, что при \(B=0\). Разность потенциалов между концами меняется как скорость: \[\mathcal E=Blv=-BlA\omega\sin\omega t,\qquad \mathcal E_{\max}=BlA\sqrt{\frac kM}.\]

Проверка. Размерность: \([Blv]=\text{Тл}\cdot\text{м}\cdot\text{м/с}=\text{В}\); \(\sqrt{k/M}\) — \(\text{с}^{-1}\). Предел \(B\to0\) даёт тот же ответ, и от \(B\) он не зависит. Энергия: механическая \(\dfrac{ky^2}2+\dfrac{Mv^2}2\) сохраняется, поскольку джоулева тепла нет, и это согласуется с отсутствием тока.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.