Два генератора

В первой части ЭДС каждого кольца даёт закон Фарадея для потока через кольцо; кольца соединены параллельно, поэтому токи складываются. Во второй части ЭДС движения \(Bva\) действует на ленту с сопротивлением участка поля, последовательным с резистором.

Часть 1: 1) \(\varepsilon_k=\pi a_k^2B_0\omega\sin\omega t\); 2) \(I_0=\dfrac{55}{8\sqrt2}\,\dfrac{\pi d^2a_0}{\rho}B_0\omega\) (действующее значение); 3) \(I=\dfrac{\frac{55}{8\sqrt2}\frac{\pi d^2a_0}{\rho}B_0\omega}{1+0{,}366\,R\,\dfrac{d^2}{\rho a_0}}\). Часть 2: 1) \(I=\dfrac{Bva}{R+\rho\frac{a}{bh}}\); 2) \(F=\dfrac{B^2a^2v}{R+\rho\frac{a}{bh}}\); 3) \(P=\dfrac{B^2v^2a^2R}{\bigl(R+\rho\frac{a}{bh}\bigr)^2}\); 4) \(\eta=\dfrac{R}{R+\rho\frac{a}{bh}}\).

Часть 1. Круглый генератор.

Переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. В данном случае силовыми линиями электрического поля будут концентрические окружности, плоскость которых перпендикулярна линиям индукции магнитного поля. Рассмотрим кольцо радиуса \(a_k\). Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, переменной магнитное поле порождает в нем ЭДС индукции равную

\[\varepsilon_k = -\frac{\Delta \Phi_k}{\Delta t},\tag{1}\]

где \(\Phi_k = \pi a_k^2 B_0 \cos \omega t\) - магнитный поток через это кольцо. Следовательно, ЭДС индукции этого кольца равна

\[\varepsilon_k = -\frac{\Delta \Phi_k}{\Delta t} = \pi a_k^2 B_0 \omega \sin \omega t.\tag{2}\]

Электрическое сопротивление кольца равно

\[r_k = \rho \frac{2\pi a_k}{(\pi d^2)/4} = 8\rho \frac{a_k}{d^2}.\tag{3}\]

Если пренебречь сопротивлением амперметра, то сила тока через него будет равна

\[i_0 = \sum_k i_k = \sum_k \frac{\varepsilon_k}{r_k} = \sum_k \frac{\pi a_k^2 B_0 \omega \sin \omega t}{8\rho \frac{a_k}{d^2}} = \frac{\pi d^2 a_0}{8\rho} B_0 \omega \sin \omega t \sum_{k=1}^{10} k = \frac{55}{8} \frac{\pi d^2 a_0}{\rho} B_0 \omega \sin \omega t\]

Действующее значение силы тока, соответственно, в этом случае равно

\[I_0 = \frac{55}{8\sqrt{2}} \frac{\pi d^2 a_0}{\rho} B_0 \omega.\tag{4}\]

Если учесть сопротивление амперметра, то для каждого кольца можно записать

\[\varepsilon_k = i_k r_k + i_0 R.\tag{5}\]

Разделим эти уравнения на \(r_k\) и просуммируем по всем кольцам, в итоге получим

\[i_0 = \sum_k i_k = \sum_k \frac{\varepsilon_k}{r_k} - i_0 R \sum_k \frac{1}{r_k} \quad \Rightarrow \quad i_0 = \frac{\sum_k \frac{\varepsilon_k}{r_k}}{1 + R \sum_k \frac{1}{r_k}}.\tag{6}\]

Сумма в числителе подсчитана. Вычислим сумму проводимостей

\[\sum_k \frac{1}{r_k} = \frac{d^2}{8\rho a_0} \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k} \approx \frac{d^2}{8\rho a_0} \cdot 2{,}930 \approx 0{,}366 \frac{d^2}{\rho a_0}\tag{7}\]

Теперь можно записать окончательное выражение для действующего значения силы тока в этом случае

\[I = \frac{\frac{55}{8\sqrt{2}} \frac{\pi d^2 a_0}{\rho} B_0 \omega}{1 + 0{,}366 R \frac{d^2}{\rho a_0}} = \frac{15{,}27 \cdot d^2 a_0^2 B_0 \omega}{\rho a_0 + 0{,}366 R d^2}.\tag{8}\]

Часть 2. Прямоугольный генератор.

На каждый электрон в движущемся проводнике в области магнитного поля действует сила Лоренца

\[F = eBv .\tag{1}\]

Эта сила совершает работу по перемещению электрона поперек движущейся ленты, то есть создает ЭДС, равную

\[\varepsilon = Bva .\tag{2}\]

Электрическое сопротивление участка ленты, находящейся в электрическом поле, равно

\[r = \rho \frac{a}{bh} .\tag{3}\]

По закону Ома сила тока в контуре определяется выражением

\[I = \frac{\varepsilon}{r + R} = \frac{Bva}{R + \rho \frac{a}{bh}}\tag{4}\]

Со стороны магнитного поля на этот ток действует сила Ампера, направленная в сторону противоположную вектору скорости ленты и равная

\[F = IBa = \frac{B^2 a^2}{R + \rho \frac{a}{bh}} v .\tag{5}\]

Чтобы лента двигалась равномерно, необходимо ее тянуть с такой же по модулю силой. Эта сила развивает мощность

\[P_0 = Fv = \frac{B^2 a^2}{R + \rho \frac{a}{bh}} v^2 .\tag{6}\]

Мощность, выделяющаяся на резисторе может быть рассчитана по закону Джоуля-Ленца

\[P = I^2 R = \frac{B^2 v^2 a^2}{\left(R + \rho \frac{a}{bh}\right)^2} R .\tag{7}\]

Наконец, КПД генератора равно

\[\eta = \frac{P}{P_0} = \frac{R}{R + \rho \frac{a}{bh}} ,\tag{8}\]

что равно традиционному отношению сопротивления нагрузки к полному сопротивлению цепи.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.