Фотоэлемент

Подсказка

Идеальный фотоэлемент — источник тока \(I_\Phi\), параллельный диоду: ток нагрузки равен \(I_\Phi-CU^2\). Максимум мощности найдите, приравняв нулю производную \(P(U)\). Во второй части добавьте ток через \(R_{\text{ПАР}}\) и падение напряжения на \(R_{\text{ПОС}}\).

Ответ

1.1) \(U_{\text{н}}=\dfrac{-1+\sqrt{1+4CR_{\text{н}}^2I_\Phi}}{2R_{\text{н}}C}\), \(I_{\text{н}}=\dfrac{-1+\sqrt{1+4CR_{\text{н}}^2I_\Phi}}{2CR_{\text{н}}^2}\); 1.2) \(I_{\text{н}}=I_\Phi-CU_{\text{н}}^2\); 1.3) \(I_{\text{кз}}=I_\Phi\), \(U_{\text{хх}}=\sqrt{I_\Phi/C}\); 1.4) ветвь параболы; 1.5) \(U_{P\max}=\sqrt{\dfrac{I_\Phi}{3C}}\), \(I_{P\max}=\dfrac23I_\Phi\), \(R_{P\max}=\dfrac{3}{2\sqrt{3CI_\Phi}}\), \(P_{\max}=\dfrac23\sqrt{\dfrac{I_\Phi^3}{3C}}\); 1.6) \(I_{\text{кз}}=1{,}0\) мА, \(U_{\text{хх}}=0{,}50\) В, \(I_{P\max}=0{,}67\) мА, \(U_{P\max}=0{,}29\) В, \(R_{P\max}=433\) Ом, \(P_{\max}=0{,}19\) мВт; 2.2) \(C(U_{\text{н}}+I_{\text{н}}R_{\text{пос}})^2+\dfrac{U_{\text{н}}+I_{\text{н}}(R_{\text{пос}}+R_{\text{пар}})}{R_{\text{пар}}}-I_\Phi=0\); 2.3) \(I_{\text{кз}}=\dfrac{-\frac{R_{\text{пос}}+R_{\text{пар}}}{R_{\text{пар}}}+\sqrt{\bigl(\frac{R_{\text{пос}}+R_{\text{пар}}}{R_{\text{пар}}}\bigr)^2+4I_\Phi CR_{\text{пос}}^2}}{2CR_{\text{пос}}^2}\), \(U_{\text{хх}}=\dfrac{-1+\sqrt{1+4I_\Phi CR_{\text{пар}}^2}}{2CR_{\text{пар}}}\); 2.4) \(I_{\text{кз}}=0{,}88\) мА, \(U_{\text{хх}}=0{,}39\) В; 2.6) \(U_{P\max}=0{,}22\) В, \(P_{\max}=0{,}10\) мВт.

Решение

Часть 1. Идеальный фотоэлемент

1.1 Ток в нагрузке равен разности фототока и тока текущего через диод:

\[I_{\text{н}} = I_{\Phi} - I_{D}\tag{1}\]

Напряжение на нагрузке такое же, как и на диоде. Подставляя \(I_{\text{н}} = \frac{U_{\text{н}}}{R}\) и \(I_{D} = C U_{\text{н}}^2\), получим квадратное уравнение:

\[C U_{\text{н}}^2 + \frac{1}{R} U_{\text{н}} - I_{\Phi} = 0\tag{2}\]

Решение имеет вид:

\[U_{\text{н}} = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4CR^2 I_{\Phi}}}{2RC}\tag{3}\]

Ток в нагрузке:

\[I_{\text{н}} = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4CR^2 I_{\Phi}}}{2CR^2}\tag{4}\]

1.2 Подставляя в (1) \(I_D = CU_{\text{н}}^2\), получим связь между током и напряжением:

\[I_{\text{н}} = I_{\Phi} - CU_{\text{н}}^2\tag{5}\]

1.3 При нулевом сопротивлении, напряжение на нагрузке равно нулю. А при большом сопротивлении нагрузки – ток равен нулю. Исходя из (5):

\[I_{\text{кз}} = I_{\Phi}\tag{6}\]

\[U_{\text{хх}} = \sqrt{\frac{I_{\Phi}}{C}}\tag{7}\]

1.4 График зависимости \(I_{\text{н}}(U_{\text{н}})\) – ветвь параболы. Вершина имеет координаты \((0, I_{\text{кз}})\), точка пересечения с осью абсцисс – \(U_{\text{хх}}\).

1.5 Умножим обе части равенства (5) на \(U_{\text{н}}\):

\[I_{\text{н}}U_{\text{н}} = P_{\text{н}} = I_{\Phi}U_{\text{н}} - CU_{\text{н}}^3\tag{8}\]

Приравняв к нулю производную по напряжению, получим:

\[U_{Pmax} = \sqrt{\frac{I_{\Phi}}{3C}}\tag{9}\]

Соответственно:

\[P_{max} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{I_{\Phi}^3}{3C}}\tag{10}\]

\[I_{Pmax} = I_{\Phi} - CU_{Pmax}^2 = \frac{2}{3}I_{\Phi}\tag{11}\]

\[R_{Pmax} = \frac{U_{Pmax}}{I_{Pmax}} = \frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{3CI_{\Phi}}}\tag{12}\]

1.6 Используя численные значения, получим:

\[I_{\text{кз}} = 1{,}0 \text{ мА}\tag{13}\]

\[U_{\text{хх}} = 0{,}50 \text{ В}\tag{14}\]

\[I_{Pmax} = 0{,}67 \text{ мА}\tag{15}\]

\[U_{Pmax} = 0{,}29 \text{ В}\tag{16}\]

\[R_{Pmax} = 433 \text{ Ом}\tag{17}\]

\[P_{max} = 0{,}19 \text{ мВт}\tag{18}\]

Часть 2. Потери энергии в фотоэлементе

2.1 Фототок \(I_{\Phi}\) разделяется на три части: ток диода \(I_D\), ток через параллельное соединение \(I_{\text{ПАР}}\) и ток через последовательное сопротивление и нагрузку \(I_{\text{н}}\):

\[I_{\Phi} = I_D + I_{\text{ПАР}} + I_{\text{н}}\tag{19}\]

Напряжение на диоде и параллельном сопротивлении, можно выразить через ток в нагрузке:

\[U_D = U_{\text{ПАР}} = I_{\text{н}}(R_{\text{н}} + R_{\text{пос}})\tag{20}\]

Тогда:

\[I_D = CI_{\text{н}}^2(R_{\text{н}} + R_{\text{пос}})^2\tag{21}\]

\[I_{\text{ПАР}} = I_{\text{н}}\frac{R_{\text{н}} + R_{\text{пос}}}{R_{\text{ПАР}}}\tag{22}\]

Подставляя эти выражения в (19) получим квадратное уравнение относительно \(I_{\text{н}}\):

\[C(R_{\text{н}} + R_{\text{пос}})^2 I_{\text{н}}^2 + \frac{R_{\text{н}} + R_{\text{пос}} + R_{\text{ПАР}}}{R_{\text{ПАР}}} I_{\text{н}} - I_{\Phi} = 0\tag{23}\]

Решение уравнения:

\[I_{\text{Н}} = \frac{-\frac{R_{\text{Н}}+R_{\text{пос}}+R_{\text{ПАР}}}{R_{\text{ПАР}}} + \sqrt{\left(\frac{R_{\text{Н}}+R_{\text{пос}}+R_{\text{ПАР}}}{R_{\text{ПАР}}}\right)^2 + 4I_{\Phi}C(R_{\text{Н}}+R_{\text{пос}})^2}}{2C(R_{\text{Н}}+R_{\text{пос}})^2}\tag{24}\]

Напряжение на нагрузке \(U_{\text{Н}} = I_{\text{Н}}R_{\text{Н}}\).

2.2 Вместо уравнения (20) запишем:

\[U_D = U_{\text{ПАР}} = U_{\text{Н}} + I_{\text{Н}}R_{\text{пос}}\tag{25}\]

Подставив в (19) получим искомую связь:

\[C(U_{\text{Н}} + I_{\text{Н}}R_{\text{пос}})^2 + \frac{U_{\text{Н}} + I_{\text{Н}}(R_{\text{пос}}+R_{\text{ПАР}})}{R_{\text{ПАР}}} - I_{\Phi} = 0\tag{26}\]

2.3 Подставив в выражение (24) значение \(R_{\text{Н}} = 0\), получим ток короткого замыкания:

\[I_{\text{КЗ}} = \frac{-\frac{R_{\text{пос}}+R_{\text{ПАР}}}{R_{\text{ПАР}}} + \sqrt{\left(\frac{R_{\text{пос}}+R_{\text{ПАР}}}{R_{\text{ПАР}}}\right)^2 + 4I_{\Phi}CR_{\text{пос}}^2}}{2CR_{\text{пос}}^2}\tag{27}\]

Аналогичное решение можно получить, полагая в уравнении (26) \(U_{\text{Н}} = 0\).

Напряжение холостого хода найдем, приняв в (26) \(I_{\text{Н}} = 0\).

\[U_{\text{ХХ}} = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4I_{\Phi}CR_{\text{ПАР}}^2}}{2CR_{\text{ПАР}}}\tag{28}\]

2.4 Численные значения тока короткого замыкания и напряжения холостого хода:

\[I_{\text{КЗ}} = 0{,}88 \text{ мА}\tag{29}\]

\[U_{\text{ХХ}} = 0{,}39 \text{ В}\tag{30}\]

2.5 Подставим численные значения в (26) и умножим обе части на \(10^3\):

\[4(U_{\text{Н}} + 100I_{\text{Н}})^2 + U_{\text{Н}} + 1100I_{\text{Н}} = 1\tag{31}\]

Раскрыв скобки, получим:

\[4U_{\text{Н}}^2 + 10^4I_{\text{Н}}^2 + 800U_{\text{Н}}I_{\text{Н}} + U_{\text{Н}} + 1100I_{\text{Н}} = 1\tag{32}\]

Т.к. ток всегда меньше \(10^{-3}\) А, то слагаемым \(10^4I_{\text{Н}}^2\) можно пренебречь.

Запишем уравнение в следующем виде:

\[I_{\text{Н}}(1100 + 800U_{\text{Н}}) = 1 - 4U_{\text{Н}}^2 - U_{\text{Н}}\tag{33}\]

Величина \(800U_{\text{Н}}\) изменяется незначительно — от 0 до 312. Положи ее равной 150.

Окончательно получим:

\[I_{\text{Н}} = \frac{1 - 4U_{\text{Н}}^2 - U_{\text{Н}}}{1250}\tag{34}\]

На рисунке изображены графики зависимости \(I_{\text{Н}}(U_{\text{Н}})\).

Заметим, что отличия от точного построения невелики и проявляются при малых напряжениях

2.6 Используя удачное приближение из предыдущего пункта, можем записать:

\[P = I_{\text{Н}}U_{\text{Н}} = \frac{U_{\text{Н}} - 4U_{\text{Н}}^2 - U_{\text{Н}}^2}{1250}\tag{35}\]

Приравняв к нулю производную, получим:

\[U_{Pmax} = 0{,}22 \text{ В}\tag{36}\]

\[P_{max} = 0{,}10 \text{ мВт}\tag{37}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.