Трамвай на подъёме

Движение равномерное, значит, сила тяги всякий раз уравновешивает остальные силы. Сравните силы тяги на трёх участках, затем свяжите механическую мощность с током через потери в обмотке.

\(I=I_0\,\dfrac{1-\sqrt{1-8\eta(1-\eta)}}{2(1-\eta)}\approx2{,}35\,I_0\approx235\) А.

Что происходит. Скорость везде одна и постоянная, поэтому на каждом участке сила тяги двигателя уравновешивает все остальные силы. Сила сопротивления \(F\) (трение качения, воздух) при одной скорости одинакова. На спуске ток равен нулю, тяги нет, и трамвай катится только за счёт составляющей силы тяжести вдоль склона: она равна \(F\). На подъёме тяга должна преодолеть и \(F\), и ту же составляющую тяжести, то есть быть вдвое больше, чем на горизонтали. Значит, механическая мощность на колёсах вдвое больше. Осталось выразить её через ток. Для этого принимаем модель: напряжение контактной сети \(U\) одинаково, потери в двигателе — только джоулево тепло \(I^2R\) в обмотке (прочее трение входит в \(F\)).

Обозначения. \(v\) — скорость трамвая; \(F_{\text{т}}\) — сила тяги на горизонтали, \(F_{\text{т}}'\) — на подъёме; \(mg_{\parallel}=mg\sin\alpha\) — составляющая силы тяжести вдоль склона (\(\alpha\) — угол наклона); \(R\) — сопротивление обмотки; \(x=I/I_0\).

1. Горизонтальный участок. Трамвай движется равномерно: по первому закону Ньютона для трамвая в проекции на направление движения \(F_{\text{т}}=F\). Механическая мощность на колёсах \(Fv\). Закон сохранения энергии для двигателя: потребляемая мощность \(UI_0\) идёт на механическую работу и нагрев обмотки, \[UI_0=Fv+I_0^2R .\] КПД \(\eta=Fv/(UI_0)\), поэтому \(Fv=\eta UI_0\) и \(I_0^2R=(1-\eta)UI_0\), откуда \(R=(1-\eta)U/I_0\).

2. Спуск. Ток равен нулю, двигатель не действует на трамвай. Первый закон Ньютона вдоль склона: \[mg\sin\alpha=F .\]

3. Подъём. Равномерное движение вверх: сила тяги направлена вверх по склону, а \(F\) и \(mg\sin\alpha\) — вниз. Первый закон Ньютона вдоль склона: \[F_{\text{т}}'=F+mg\sin\alpha=2F,\] механическая мощность \(2Fv=2\eta UI_0\). Закон сохранения энергии для двигателя: \[UI=2\eta UI_0+I^2R .\]

4. Ток. Подставим \(R\) и разделим на \(UI_0\): \[x=2\eta+(1-\eta)x^2\ \Rightarrow\ (1-\eta)x^2-x+2\eta=0\ \Rightarrow\ x=\frac{1\pm\sqrt{1-8\eta(1-\eta)}}{2(1-\eta)} .\] При \(\eta=0{,}9\) получаем \(x^2-10x+18=0\), \(x=5\pm\sqrt7\): корни \(2{,}35\) и \(7{,}65\).

Обратите внимание: два корня, и ответ ``вдвое больше, \(200\) А'' неверен, потому что КПД на подъёме другой. Механическая мощность \(P_{\text{мех}}/(UI_0)=x-(1-\eta)x^2\) растёт с током лишь до \(x=\dfrac1{2(1-\eta)}=5\) (максимум \(2{,}5\) на графике), потом падает: точка \(G\) — движение по горизонтали, точка \(H\) даёт нужную мощность \(1{,}8\) при КПД \(1-0{,}1x\approx0{,}77\), точка \(K\) — при КПД около \(0{,}24\) и сильной перегрузке двигателя. Берём меньший корень.

Ответ в буквах и числом: \[I=I_0\,\frac{1-\sqrt{1-8\eta(1-\eta)}}{2(1-\eta)}=100\text{ А}\cdot(5-\sqrt7)\approx235\text{ А}.\]

Проверка. При \(\eta\to1\) (нет потерь) формула даёт \(x\to2\): ток вдвое больше, как и должно быть при удвоенной мощности. Подстановка: \(x=2{,}354\) даёт \(x-0{,}1x^2=2{,}354-0{,}554=1{,}80=2\eta\), верно. Условие \(8\eta(1-\eta)\le1\), то есть \(\eta\ge0{,}85\), означает: двигатель с большими потерями вдвое увеличить мощность на той же скорости не может; у нас \(\eta=0{,}9\) подходит. Размерность: \(I/I_0\) безразмерно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.