Два пара под поршнем

Пар каждого вещества ведёт себя так, будто другого вещества нет. Для каждого сравните давление, которое создал бы весь пар, с давлением насыщенного пара: где оно больше, там часть вещества станет жидкостью.

Масса жидкости \(m\approx2{,}0\cdot10^{-3}\) кг (первой жидкости \(0{,}74\) г, второй \(1{,}30\) г). Изотерма: \(p=7\text{ кПа}+\dfrac{130\text{ Дж}}{V}\) от \(V=10\) л (\(20\) кПа) до \(V\approx7{,}65\) л (\(24\) кПа), дальше горизонтальный участок \(p=24\) кПа до \(V\approx3{,}33\) л.

Что происходит. Жидкости не смешиваются и не реагируют, поэтому пар каждого вещества занимает весь объём под поршнем как отдельный газ, а давление в цилиндре — сумма давлений паров (закон Дальтона). Пока пара меньше, чем нужно для насыщения, он подчиняется уравнению Менделеева — Клапейрона. Если же давление, которое создал бы весь пар вещества, оказалось выше давления насыщенного пара при \(40\,^\circ\text{C}\), лишнее вещество превращается в жидкость, и давление этого пара держится на уровне насыщенного, пока в цилиндре есть жидкость. Главная идея: для каждого вещества и каждого объёма сравнить \(\nu RT/V\) с давлением насыщенного пара.

Обозначения. \(\nu=0{,}05\) моль — количество каждого вещества, \(T=313\) К, \(R=8{,}31\) Дж/(моль\(\cdot\)К); \(V_1=10\) л, \(V_2=V_1/3\approx3{,}33\) л; \(p_{1}=0{,}7\cdot10^4\) Па, \(p_{2}=1{,}7\cdot10^4\) Па — давления насыщенных паров; \(M_1=18\) г/моль, \(M_2=46\) г/моль. Объём жидкости — около \(2\) см\(^3\) — рядом с тремя литрами газа пренебрежимо мал, поэтому объём под поршнем считаем равным объёму пара. Величина \(\nu RT=0{,}05\cdot8{,}31\cdot313\approx130\) Дж понадобится во всех пунктах.

1. Начальное состояние, \(V_1=10\) л. Если бы всё вещество было паром, его давление равнялось бы \[\frac{\nu RT}{V_1}=\frac{130\text{ Дж}}{10^{-2}\text{ м}^3}=1{,}3\cdot10^4\text{ Па}.\] Для первого вещества это больше \(p_1=0{,}7\cdot10^4\) Па, значит, оно уже насыщено: в паре находится \(\nu_{1\text{п}}=p_1V_1/(RT)=0{,}027\) моль, остальные \(0{,}023\) моль — жидкость. Для второго вещества \(1{,}3\cdot10^4<1{,}7\cdot10^4\) Па: оно целиком пар, ненасыщенный. Давление в цилиндре \[p_A=p_1+\frac{\nu RT}{V_1}=0{,}7\cdot10^4+1{,}3\cdot10^4=2{,}0\cdot10^4\text{ Па}.\] Обратите внимание: первое вещество насыщено уже в начале, поэтому его давление при сжатии не меняется. Если считать оба пара ненасыщенными, получится завышенное давление и неверная масса жидкости.

2. Сжатие до насыщения второго пара. Пока второй пар ненасыщен, закон Бойля — Мариотта даёт давление этого пара \(p_{2}'=\nu RT/V\), давление первого неизменно, \(p_1\), так что \[p=p_1+\frac{\nu RT}{V}\qquad(V_*\le V\le V_1).\] Второй пар достигнет насыщения при \(\nu RT/V_*=p_2\): \[V_*=\frac{\nu RT}{p_2}=\frac{130\text{ Дж}}{1{,}7\cdot10^4\text{ Па}}\approx7{,}65\text{ л},\qquad p_B=p_1+p_2=2{,}4\cdot10^4\text{ Па}.\] Дальше, при \(V<V_*\), оба пара насыщены и их давления постоянны: \(p=p_1+p_2=2{,}4\cdot10^4\) Па (горизонтальный участок изотермы).

3. Конечное состояние, \(V_2=3{,}33\) л. Здесь оба пара насыщены: в паре первого вещества и второго соответственно \[\nu_{1\text{п}}=\frac{p_1V_2}{RT}=\frac{0{,}7\cdot10^4\cdot3{,}33\cdot10^{-3}}{2{,}6\cdot10^{3}}\approx0{,}0090\text{ моль},\qquad \nu_{2\text{п}}=\frac{p_2V_2}{RT}\approx0{,}0218\text{ моль}.\] Остальное вещество — жидкость: \(\nu_{1\text{ж}}=0{,}05-0{,}0090=0{,}0410\) моль, \(\nu_{2\text{ж}}=0{,}05-0{,}0218=0{,}0282\) моль. Масса жидкости \[m=\nu_{1\text{ж}}M_1+\nu_{2\text{ж}}M_2=0{,}0410\cdot18+0{,}0282\cdot46\ \text{г}\approx0{,}74+1{,}30\ \text{г}\approx2{,}0\text{ г}.\]

Проверка. Второй способ: суммарное количество пара при \(p=2{,}4\cdot10^4\) Па равно \(pV_2/(RT)=0{,}0307\) моль, жидкости остаётся \(0{,}1-0{,}0307=0{,}0693\) моль — совпадает с \(0{,}0410+0{,}0282\). Предельный случай: если бы второй пар оставался ненасыщенным, давление в конце было бы \(p_1+3\nu RT/V_1=4{,}6\cdot10^4\) Па \(>p_2+p_1\), то есть конденсация второго вещества неизбежна. Масса жидкости меньше полной массы веществ \(0{,}05\cdot(18+46)=3{,}2\) г.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.