Кастрюля на плите

Мощность плиты найдите по первому нагреву, затем запишите баланс теплоты для всей воды в момент \(\tau\); температура постоянна, когда подводимая мощность уходит на нагрев доливаемой воды.

Температура растёт до кипения (при \(\tau\approx28\) мин) и дальше остаётся \(100^\circ\)C; постоянной температура остаётся при \(\nu_1=V_0/\tau_0=0{,}4\) л/мин.

9.2. Найдем тепловую мощность \(P\) плиты из уравнения теплового баланса

\[P \tau_{0} = c \rho V_{0} (t_{1} - t_{0}),\tag{1}\]

\[P = \frac{c \rho V_{0} (t_{1} - t_{0})}{\tau_{0}},\tag{2}\]

где \(\rho\) и \(c\) - плотность и удельная теплоемкость воды, соответственно. На этом этапе нагревания температура будет возрастать прямо пропорционально времени. Через время \(\tau\) после начала подливания, в кастрюле будет находиться

\[V = V_{0} + \nu \tau\tag{3}\]

литров воды. Всего за время нагревания вода получит от нагревателя количество теплоты, которое определяется формулой

\[Q = P (\tau_{0} + \tau).\tag{4}\]

Уравнение теплового баланса (за все время нагревания) будет иметь вид

\[P (\tau_{0} + \tau) = c \rho (V_{0} + \nu \tau) (t - t_{0}),\tag{5}\]

где \(t\) - температура воды в момент времени \(\tau\). Подставляя выражение (2) для мощности нагревателя, получаем искомую функцию зависимости температуры от времени

\[t = t_{0} + (t_{1} - t_{0}) \frac{\left(1 + \frac{\tau}{\tau_{0}}\right)}{\left(1 + \frac{\nu \tau}{V_{0}}\right)}.\tag{6}\]

Эта функция является монотонной, стремящейся к предельному значению (при \(\tau \gg \tau_{0}\))

\[t^{*} = t_{0} + (t_{1} - t_{0}) \frac{V_{0}}{\nu \tau_{0}},\tag{7}\]

которое при заданных численных значениях параметров равно \(t^{*} = 135^{\circ}\). Это значение превышает температуру кипения, поэтому

увеличение температуры прекратится при достижении температуры кипения \(t_{\text{кип}} = 100^{\circ}\). Можно найти момент времени, когда начнется кипение, для этого в уравнении (6) необходимо

положить \(t = t_{\text{кип}} = 100^\circ\) и найти соответствующее значение времени \(\tau \approx 28\,\text{мин}\).

График полученной зависимости показан на рисунке. Значение скорости наливания \(\nu _1\), при котором температура воды в кастрюле будет оставаться постоянной можно найти из формулы (6), в котором второе слагаемое должно не зависеть от времени \(\tau\). Это возможно, только при \(\dfrac{\tau}{\tau_0} = \dfrac{\nu \tau}{V_0}\). То есть, при \(\nu = \dfrac{V_0}{\tau_0} = 0{,}4\,\dfrac{\text{л}}{\text{мин}}\).

Заметим, что это же значение можно получить из уравнения теплового баланса \(c\rho \nu _1(t_1 - t_0) = P\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.