Столкновение мячей

К моменту встречи каждый мяч смещён от места броска на \(\vec v\tau-\vec g\tau^2/2\): подъём над точкой броска одинаков, а расстояние — сумма горизонтальных смещений.

\(S=\left(H-h+\dfrac{g\tau^2}{2}\right)(\operatorname{ctg}\alpha_1+\operatorname{ctg}\alpha_2)\approx18\) м.

9.4 Из кинематических законов равноускоренного движения можно записать следующие уравнения

\[\left\{ \begin{array}{l} H - h = v_1 \tau \sin \alpha_1 - \dfrac{g \tau^2}{2}, \\ H - h = v_2 \tau \sin \alpha_2 - \dfrac{g \tau^2}{2}, \\ S = v_1 \tau \cos \alpha_1 + v_2 \tau \cos \alpha_2 \end{array} \right.\tag{1}\]

Из первых двух уравнений следует выразить значения \(v_1\tau\) и \(v_2\tau\) и подставить их в третье уравнение системы (1)

\[S = \left( H - h + \frac { g \tau ^ { 2 } } { 2 } \right) \cdot \left( \frac { \cos \alpha _ { 1 } } { \sin \alpha _ { 1 } } + \frac { \cos \alpha _ { 2 } } { \sin \alpha _ { 2 } } \right) \approx 1 8 \text{м}.\tag{2}\]

Данная задача допускает также более простое «геометрическое» решение. Представим закон движения каждого мяча в векторной форме \(\vec{r} = \vec{v}\tau - \frac{\vec{g}\tau^2}{2}\) и изобразим его графически. Можно заметить, что треугольники \(ABC\) и \(ABD\) прямоугольные (т.к. \(\alpha_1 + \alpha_2 = 90^\circ\)) поэтому

\[S = \vert AC\vert = \frac{\vert AB\vert }{\cos\alpha_1} = \frac{1}{\cos\alpha_1} \cdot \frac{\vert BD\vert }{\sin\alpha_1} = \frac{H - h + \frac{g\tau^2}{2}}{\cos\alpha_1 \sin\alpha_1},\]

что приводит к тому же численному результату.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.