Тележки с магнитами
5. (13 баллов). Две одинаковые тележки, массы которых равны \(m = 200\text{г}\), поставлены на длинные горизонтальные рельсы, по которым они могут катиться без трения. К тележкам прикреплены магниты, одноименными полюсами навстречу друг другу. Когда тележки находятся на большом расстоянии (на котором можно пренебречь магнитным взаимодействием), одной из них сообщают скорость \(v_0\) в сторону покоящейся другой. Постройте график зависимости минимального расстояния между тележками в процессе движения от начальной скорости \(v_0\). Ниже на рисунке представлен график зависимости потенциальной энергии взаимодействия магнитов \(U\) от расстояния между ними.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ момент наибольшего сближения скорости тележек равны: из сохранения импульса и энергии получите \(U(x_{\min})=mv_0^2/4\) и по графику \(U(x)\) постройте зависимость.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(v_0=2\sqrt{U(x_{\min})/m}\); например, \(x_{\min}=1\) см при \(v_0\approx60\) см/с, \(5\) см при \(26\) см/с, \(18\) см при \(14\) см/с.
▶РешениеСкрыть: решение
Решение9.5 Запишем уравнения законов сохранения механической энергии и импульса, учитывая, что в момент наибольшего сближения \(x\) скорости тележек равны (обозначим это значение \(v\))
\[\frac{mv_0^2}{2} = 2\frac{mv^2}{2} + U(x);\tag{1}\]
\[mv_0 = 2mv.\tag{2}\]
Из этих уравнений находим, что при минимальном сближении потенциальная энергия взаимодействия определяется выражением
\[U(x) = \frac{mv_0^2}{4};\tag{3}\]
Используя эту формулу и прилагаемый график зависимости \(U(x)\) можно рассчитать значения начальной скорости, при которой минимальное расстояние будет равно \(x_{min}\) с помощью выражения
\[v_0 = 2\sqrt{\frac{U(x_{min})}{m}}.\tag{4}\]
Результаты таких расчетов представлены в таблице и на графике
\(x_{min}\), (см) \(U\), (мДж) \(v_0\), (см/с) 1 18 60 2 9 42 3 6 35 5 \(3{,}5\) 26 9 2 20 12 \(1{,}5\) 17 18 1 14 Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Гарпун с нитью Белорусская 1999/00, заключительный этап, 11 кл.
- Горка и монета ЕГЭ 2013, 11 кл.
- Горка с двумя вершинами (C2) ЕГЭ 2013, 11 кл.
- Скорость шайбы на горке с двумя вершинами (C2) ЕГЭ 2013, 11 кл.
- Опрокидывание куба на другую грань Курчатов 2013/14, отборочный этап, 10 кл.
- Рогатка Ведомственная 2015/16, заключительный этап, 10 кл.