Поршни в сочленённой трубе

Жидкость несжимаема, поэтому скорости поршней связаны через площади; работа разности давлений идёт на прирост кинетической энергии жидкости, перетекающей из широкой трубы в узкую.

\(V_0=\sqrt{\dfrac{2(P_0-P_1)}{\rho\left(r_0^4/r_1^4-1\right)}}\), \(V_1=\sqrt{\dfrac{2(P_0-P_1)}{\rho\left(1-r_1^4/r_0^4\right)}}\).

9.1. Пусть один поршень, двигаясь с постоянной скоростью \(V_0\), сместился на малое расстояние \(x_0\), тогда второй, двигаясь со скоростью \(V_1\), сместился на расстояние \(x_1\), причем из условия несжимаемости жидкости следует

\[x_0 S_0 = x_1 S_1,\tag{1}\]

\[V_0 S_0 = V_1 S_1,\tag{2}\]

где \(S_0, S_1\) - площади поршней. Газ, находящийся слева, при этом совершит работу \(P_0 S_0 x_0\), которая расходуется на работу второго поршня \(P_1 S_1 x_1\) и увеличение кинетической энергии жидкости. Действительно, часть жидкости объемом \(S_0 x_0\) увеличила скорость от \(V_0\) до \(V_1\). Таким образом, уравнение баланса энергий имеет вид

\[P_0 S_0 x_0 = P_1 S_1 x_1 + \frac{1}{2} \rho S_0 x_0 (V_1^2 - V_0^2).\tag{3}\]

Решая систему уравнений (1)-(3), получаем

\[V_0 = \sqrt{\frac{2(P_0 - P_1)}{\left(\frac{r_0^4}{r_1^4} - 1\right)}}; \quad V_1 = \sqrt{\frac{2(P_0 - P_1)}{\left(1 - \frac{r_1^4}{r_0^4}\right)}}.\tag{4}\]

при выводе учтено, что \(\frac{S_0^2}{S_1^2} = \frac{r_0^4}{r_1^4}\).

Заметим, что соотношение (3) является фактически уравнением Бернулли.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.