Смеситель

Давление \(p_B\) в точке соединения труб устанавливается так, чтобы суммарный приток через краны равнялся расходу через удлинитель. Температуру смеси находят из теплового баланса с весами, равными расходам.

3.1) \(C=1{,}4\ \text{л/(с}\cdot\text{атм)}\); 3.2) \(q_2=1{,}1\) л/с; 3.3) \(q_3=1{,}7\) л/с, \(T_3=30^\circ\text{C}\); 3.4) \(q_4=1{,}2\) л/с, \(T_4=45^\circ\text{C}\); 3.5) \(p_{2\min}=\dfrac{\alpha_1p_1+p_0}{1+\alpha_1}=1{,}5\) атм.

Задание 9.3 «Смеситель»

3.1 Для вычисления значения \(C\) рассмотрим процесс вытекания холодной воды при полностью открытом кране. При течении несжимаемой жидкости ее расход для обеих трубок должен быть один и тот же

\[q_{AB} = q_{BD}\]

Это будет возможно в том случае, если в точке \(B\) (рис. 1) трубки установится некоторое «самосогласованное» давление \(p_B\), обеспечивающее прокачку соответствующего потока жидкости через каждую из трубок. Математически можем записать это условие в виде системы уравнений

\[q_{AB} = C(p_1 - p_B) = q_{BD} = C(p_B - p_0).\tag{1}\]

Из этого уравнения находим

\[p_B = \frac{p_1 + p_0}{2} = 2{,}0 \text{ атм}.\]

Соответственно, для расхода воды в этом случае получим

\[q_{AB} = C \frac{p_1 - p_0}{2} \quad \Rightarrow \quad C = \frac{2q_1}{p_1 - p_0}\tag{2}\]

Расчет по формуле (2) дает численное значение постоянной \(C\)

\[C = 1{,}4 \frac{\text{л}}{\text{с} \cdot \text{атм}} = 1{,}4 \cdot 10^{-8} \frac{\text{м}^3}{\text{с} \cdot \text{Па}}.\]

3.2 При полном открытии крана с горячей водой можно повторить рассуждения предыдущего пункта с той лишь разницей, что давление в магистрали равно \(p_2\), поэтому

\[q_2 = C \frac{p_2 - p_0}{2} = \frac{p_2 - p_0}{p_1 - p_0} q_1 = 1{,}1 \frac{\text{л}}{\text{с}}.\]

3.3 При полном открытии двух кранов в точке \(B\) системы должно установится давление \(p_B\), «обеспечивающее» прокачку через удлинитель \(BD\) суммарного потока \(q_3\), образованного слиянием двух (холодного \(q_1\) и горячего \(q_2\)) потоков из труб \(AB\) и \(CB\). Соответственно, в этом случае справедлива система уравнений

\[\begin{aligned} q_1 &= C(p_1 - p_B) \\ q_2 &= C(p_2 - p_B) \\ q_3 &= q_1 + q_2 = C(p_B - p_0) \end{aligned}\tag{3}\]

Решение системы (3) дает следующие результаты

\[\begin{aligned} p_B &= \frac{p_1 + p_2 + p_0}{3}, \\ q_1 &= C \frac{2p_1 - p_2 - p_0}{3} = 1{,}1 \frac{\text{л}}{\text{с}} \\ q_2 &= C \frac{2p_2 - p_1 - p_0}{3} = 0{,}6 \frac{\text{л}}{\text{c}} \\ q_3 &= q_1 + q_2 = C \frac{p_1 + p_2 - 2p_0}{3} = 1{,}7 \frac{\text{л}}{\text{с}} \end{aligned}\tag{4}\]

Как видим из (4), расход горячей воды почти в два раза меньше расхода холодной, что объясняется бóльшим давлением в магистрали холодной воды. Это приводит к своеобразному эффекту «закупоривания» трубы с горячей водой и, соответственно, падению ее расхода. С этой точки зрения можем заметить, что сильный перепад давлений в магистралях крайне нежелателен.

Поскольку в смесителе потери теплоты практически отсутствуют (жидкости протекают через него достаточно быстро), то уравнение теплового баланса будет иметь вид

\[c m_1 (T - T_1) = c m_2 (T_2 - T),\tag{5}\]

где \(T\) — искомая температура воды на выходе из смесителя, \(c\) — удельная теплоемкость воды. Т.к. вода практически несжимаема, то можно считать, что ее плотность \(\rho\) в обеих магистралях одинакова. В этом случае \(m_1 = \rho V = \rho q_1 t\) и \(m_2 = \rho V = \rho q_2 t\), и из уравнения (5) получаем искомый результат

\[T_3 = \frac{q_1 T_1 + q_2 T_2}{q_1 + q_2} = 30^\circ \text{C}.\tag{6}\]

3.4 При различном открывании кранов система уравнений примет вид

\[\begin{aligned} q_1 &= \alpha_1 C (p_1 - p_B) \\ q_2 &= \alpha_2 C (p_2 - p_B) \\ q &= q_1 + q_2 = C (p_B - p_0) \end{aligned}\]

Соответственно ее решение также несколько изменится

\[p_B = \frac{\alpha_1 p_1 + \alpha_2 p_2 + p_0}{1 + \alpha_1 + \alpha_2}\]

\[\begin{aligned} q_1 &= \alpha_1 C \frac{p_1 (1 + \alpha_2) - \alpha_2 p_2 - p_0}{1 + \alpha_1 + \alpha_2} = 0{,}48 \text{ л/с} \\ q_2 &= \alpha_2 C \frac{p_2 (1 + \alpha_1) - \alpha_1 p_1 - p_0}{1 + \alpha_1 + \alpha_2} = 0{,}73 \text{ л/с} \\ q_4 &= q_1 + q_2 = C \frac{\alpha_1 (p_1 - p_0) + \alpha_2 (p_2 - p_0)}{1 + \alpha_1 + \alpha_2} = 1{,}2 \text{ л/с} \end{aligned}\tag{7}\]

Температуру воды на выходе из смесителя найдем с помощью выражения, аналогичного (6)

\[T_4 = \frac{q_1 T_1 + q_2 T_2}{q_1 + q_2} = 45^\circ \text{C}.\]

Если в качестве предельного перехода в выражениях (7) положить \(\alpha_1 = \alpha_2 = 1{,}0\), то, как и следовало ожидать, получится система решений (4).

Таким образом, с помощью кранов мы можем регулировать температуру воды от полностью холодной (\(T_1 = 10^\circ \text{C}\), \(\alpha_1 = 1{,}0\), \(\alpha_2 = 0{,}0\)), до полностью горячей (\(T_2 = 70^\circ \text{C}\), \(\alpha_1 = 0{,}0\), \(\alpha_2 = 1{,}0\)).

3.5 Интересно, что как следует из (7), при некоторых давлениях \(p_1\) и \(p_2\) в магистралях и коэффициентах \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) поток горячей воды может обратиться в нуль. При этом в кран горячей воды будет «закачиваться» холодная, поскольку давление там меньше. Так иногда принимая душ, можно почувствовать, что вода стала прохладнее после того, как в соседней кабинке кто-то откроет кран с горячей водой. Для вычисления \(p_{\text{min}}\) приравняем нулю выражение для \(q_2\) из (7)

\[q _ { 2 } = \alpha _ { 2 } \, C \, \frac { p _ { 2 } ( 1 + \alpha _ { 1 } ) - \alpha _ { 1 } p _ { 1 } - p _ { 0 } } { 1 + \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } } = 0 \qquad \Rightarrow \qquad p _ { 2 } ( 1 + \alpha _ { 1 } ) - \alpha _ { 1 } p _ { 1 } - p _ { 0 } = 0\tag{8}\]

Из равенства (8) найдем величину \(p_{min}\), при которой вода в кране станет полностью холодной даже при открытом кране с горячей водой

\[p_{2min} = \frac{\alpha_1 p_1 + p_0}{1 + \alpha_1} = 1{,}5 \text{ атм}.\tag{9}\]

Как следует из (9), эффект «обратной тяги» не зависит от коэффициента \(\alpha_2\) открытия крана с горячей водой. Это вполне можно понять, поскольку независимо от размера отверстия, сплошная среда (жидкость или газ) всегда устремляется в область пониженного давления.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.