Задачи › Уравнение Бернулли, истечение жидкости

Вытекающая вода

  1. Вытекающая вода

    ВсОШ 2025/26, 8 кл.
    4/10

    В вертикальный цилиндрический сосуд с площадью поперечного сечения \(S = 0{,}024\) м\(^2\) по трубе поступает вода с плотностью \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\) и скоростью \(v = 2{,}0\) м/с. Через малое отверстие в дне вода вытекает, причём объёмный расход \(q\) зависит от разности давлений у дна и у поверхности воды \(\Delta P\) по закону \(q = \alpha\,\Delta P\), \(\alpha = 3{,}0\) см\(^3\)/(с\(\cdot\)Па). В изначально пустом сосуде уровень воды начинает подниматься со скоростью \(w_0 = 0{,}060\) м/с. Ускорение свободного падения составляет \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\). Объёмный расход воды через отверстие — это объём воды, протекающий через отверстие за единицу времени.

    1. Определите площадь сечения трубы \(S_{\text{тр}}\). Ответ выразите в см\(^2\), округлив до сотых.

    2. До какой максимальной высоты \(h_{\max}\) может подняться вода в сосуде? Ответ выразите в см, округлив до сотых.

    3. С какой скоростью поднимается уровень воды в тот момент, когда высота уровня в два раза меньше максимальной высоты \(h_{\max}\)? Ответ выразите в см/с, округлив до сотых.

    Пусть теперь изначально пустой сосуд движется вертикально вниз со скоростью \(u = 0{,}40\) м/с.

    1. С какой скоростью \(w'_0\) начнёт подниматься уровень воды, когда вода из трубы достигнет дна сосуда? Ответ выразите в см/с, округлив до сотых долей.

    2. До какой максимальной высоты \(h'_{\max}\) может подняться вода в этом случае? Ответ выразите в см, округлив до сотых долей.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    В начальный момент отток отсутствует, поэтому весь приток идёт на подъём уровня. В установившемся режиме приток равен оттоку, который зависит от высоты через разность давлений \(\rho g h\).

    Ответ

    8) \(S_{\text{тр}} = 7{,}20\) см\(^2\);  9) \(h_{\max} = 4{,}90\) см;  10) \(w = 3{,}00\) см/с;  11) \(w'_0 = 4{,}80\) см/с;  12) \(h'_{\max} = 3{,}92\) см.

    Решение

    Приток: при \(h = 0\) оттока нет, поэтому \(q_{\text{вх}} = w_0 S = S_{\text{тр}} v\), откуда \(S_{\text{тр}} = \dfrac{w_0 S}{v} = \dfrac{0{,}060\cdot0{,}024}{2{,}0}\text{ м}^2 = 7{,}2\cdot10^{-4}\text{ м}^2 = 7{,}20\) см\(^2\). Установившийся уровень: \(q_{\text{вх}} = \alpha\rho g h_{\max}\), значит \(h_{\max} = \dfrac{w_0 S}{\alpha\rho g} = \dfrac{1{,}44\cdot10^{-3}}{3{,}0\cdot10^{-6}\cdot1000\cdot9{,}8}\text{ м} \approx 0{,}049\text{ м} = 4{,}90\) см. Скорость подъёма: \(w(h) = w_0\left(1 - \dfrac{h}{h_{\max}}\right)\); при \(h = h_{\max}/2\) получаем \(w = w_0/2 = 3{,}00\) см/с. Если сосуд движется вниз со скоростью \(u\), скорость притока относительно сосуда равна \(v - u\), поэтому \(w'_0 = w_0\left(1 - \dfrac{u}{v}\right) = 0{,}060\cdot0{,}8 = 0{,}048\) м/с \(= 4{,}80\) см/с, а \(h'_{\max} = h_{\max}\left(1 - \dfrac{u}{v}\right) = 4{,}90\cdot0{,}8 \approx 3{,}92\) см.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх