зад 1 Путешествие туриста
Турист выехал из дома на автобусе в аэропорт и затратил на эту поездку \(1{,}2\) ч, двигаясь со средней скоростью \(60\) км/ч. В аэропорту он ожидал посадки \(1{,}0\) ч. Полёт длился \(2{,}5\) ч, за это время самолёт пролетел \(1900\) км. После посадки турист потратил ещё \(0{,}5\) ч на выход из аэропорта, а затем ехал до отеля на такси \(0{,}6\) ч со средней скоростью \(50\) км/ч. После заселения в отель турист более не перемещался. Расстоянием, пройденным туристом за время выхода из аэропорта, можно пренебречь.
Определите путь туриста от дома до отеля. Ответ выразите в км, округлив до целого числа.
Определите путь туриста к моменту времени \(T = 7{,}0\) ч от начала пути. Ответ выразите в км, округлив до целого числа.
На сколько процентов изменилась бы средняя скорость всего путешествия, если бы такси ехало со средней скоростью на \(10\) км/ч больше? Ответ округлите до сотых долей.
Пусть \(\bar V_{\text{ср}}(t)\) — средняя скорость туриста за промежуток времени длительностью \(t\) с момента начала движения. Определите максимальное значение \(\bar V_{\text{ср}}(t)\) в течение всего путешествия. Ответ выразите в км/ч, округлив до целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть
Путь на каждом этапе известен или считается как скорость, умноженная на время. Средняя скорость за время \(t\) равна отношению пути к \(t\): её максимум достигается в момент, когда путь растёт медленнее времени, то есть в конце самого быстрого участка движения.
▶ОтветСкрыть
1) \(2002\) км; 2) \(2002\) км; 3) \(1{,}75\,\%\); 4) \(420\) км/ч.
▶РешениеСкрыть
Путь по этапам: автобус \(S_0 = 60\cdot1{,}2 = 72\) км; полёт \(S_2 = 1900\) км; такси \(S_4 = 50\cdot0{,}6 = 30\) км. Общий путь \(S_{\text{общ}} = 72 + 1900 + 30 = 2002\) км. Полное время \(T_\Sigma = 1{,}2 + 1{,}0 + 2{,}5 + 0{,}5 + 0{,}6 = 5{,}8\) ч. К моменту \(T = 7{,}0\) ч турист уже приехал в отель, поэтому путь равен \(2002\) км. Если такси едет со скоростью \(60\) км/ч, его время \(30/60 = 0{,}5\) ч, \(T'_\Sigma = 5{,}7\) ч; изменение средней скорости \(\dfrac{T_\Sigma}{T'_\Sigma} - 1 = \dfrac{5{,}8}{5{,}7} - 1 \approx 1{,}75\,\%\). Средняя скорость \(\bar V(t) = S(t)/t\) растёт во время полёта и убывает на наземных участках, поэтому максимум приходится на конец полёта: \(t = 1{,}2 + 1{,}0 + 2{,}5 = 4{,}7\) ч, путь \(72 + 1900 = 1972\) км. Тогда \(\bar V_{\max} = \dfrac{1972}{4{,}7}\text{ км/ч} \approx 420\) км/ч.
зад 2 Баня фурако и сумоисты
Цилиндрическая деревянная бочка — фурако — наполнена водой. Площадь поперечного сечения бочки составляет \(S = 2{,}80\) м\(^2\). После погружения первого сумоиста массой \(m_1 = 160\) кг уровень воды поднялся на \(\Delta h_1\). Затем в бочку залез второй сумоист, масса которого на \(25\,\%\) больше; уровень воды поднялся ещё на \(\Delta h_2\) и достиг края бочки, после чего из бочки вылилось \(m_{\text{выл}} = 90{,}0\) кг воды. Средняя плотность тела сумоистов составляет \(\rho_c = 985\) кг/м\(^3\); плотность воды составляет \(\rho_в = 1000\) кг/м\(^3\); ускорение свободного падения примите равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Оба сумоиста полностью погружаются под воду, удерживаясь за выступ в дне бочки.
Определите \(\Delta h_1\). Ответ выразите в см, округлив до десятых долей.
Определите \(\Delta h_2\). Ответ выразите в см, округлив до десятых долей.
Какую силу \(F\) прикладывает первый сумоист к выступу в дне бочки, находясь полностью под водой? Ответ выразите в Н, округлив до целого числа. Считайте, что сумоист больше нигде не касается бочки.
▶ПодсказкаСкрыть
Объём погружённого тела равен \(m/\rho_c\), и именно на такой объём поднимается уровень воды. Для силы удержания сравните архимедову силу с силой тяжести.
▶ОтветСкрыть
5) \(\Delta h_1 = 5{,}8\) см; 6) \(\Delta h_2 = 4{,}0\) см; 7) \(F = 24\) Н.
▶РешениеСкрыть
Объём первого сумоиста \(V_1 = \dfrac{m_1}{\rho_c} = \dfrac{160}{985}\text{ м}^3 \approx 0{,}162\text{ м}^3\), и при погружении уровень поднимается на \(\Delta h_1 = \dfrac{V_1}{S} \approx 0{,}058\text{ м} = 5{,}8\) см. Масса второго сумоиста \(m_2 = 1{,}25\,m_1 = 200\) кг, объём \(V_2 = \dfrac{m_2}{\rho_c} \approx 0{,}203\text{ м}^3\). При погружении второго уровень поднимается на \(\Delta h_2\) до края, вылившаяся вода имеет объём \(V_{\text{выл}} = \dfrac{m_{\text{выл}}}{\rho_в} = 0{,}090\text{ м}^3\). Поэтому \(\Delta h_2 = \dfrac{V_2 - V_{\text{выл}}}{S} \approx \dfrac{0{,}113}{2{,}80}\text{ м} \approx 0{,}040\text{ м} = 4{,}0\) см. Сила, которую сумоист прикладывает к выступу полностью под водой: \(F = \rho_в g V_1 - m_1 g = g m_1\left(\dfrac{\rho_в}{\rho_c} - 1\right) = 10\cdot160\cdot\left(\dfrac{1000}{985} - 1\right) \approx 24\) Н.
зад 3 Вытекающая вода
В вертикальный цилиндрический сосуд с площадью поперечного сечения \(S = 0{,}024\) м\(^2\) по трубе поступает вода с плотностью \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\) и скоростью \(v = 2{,}0\) м/с. Через малое отверстие в дне вода вытекает, причём объёмный расход \(q\) зависит от разности давлений у дна и у поверхности воды \(\Delta P\) по закону \(q = \alpha\,\Delta P\), \(\alpha = 3{,}0\) см\(^3\)/(с\(\cdot\)Па). В изначально пустом сосуде уровень воды начинает подниматься со скоростью \(w_0 = 0{,}060\) м/с. Ускорение свободного падения составляет \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\). Объёмный расход воды через отверстие — это объём воды, протекающий через отверстие за единицу времени.
Определите площадь сечения трубы \(S_{\text{тр}}\). Ответ выразите в см\(^2\), округлив до сотых.
До какой максимальной высоты \(h_{\max}\) может подняться вода в сосуде? Ответ выразите в см, округлив до сотых.
С какой скоростью поднимается уровень воды в тот момент, когда высота уровня в два раза меньше максимальной высоты \(h_{\max}\)? Ответ выразите в см/с, округлив до сотых.
Пусть теперь изначально пустой сосуд движется вертикально вниз со скоростью \(u = 0{,}40\) м/с.
С какой скоростью \(w'_0\) начнёт подниматься уровень воды, когда вода из трубы достигнет дна сосуда? Ответ выразите в см/с, округлив до сотых долей.
До какой максимальной высоты \(h'_{\max}\) может подняться вода в этом случае? Ответ выразите в см, округлив до сотых долей.
▶ПодсказкаСкрыть
В начальный момент отток отсутствует, поэтому весь приток идёт на подъём уровня. В установившемся режиме приток равен оттоку, который зависит от высоты через разность давлений \(\rho g h\).
▶ОтветСкрыть
8) \(S_{\text{тр}} = 7{,}20\) см\(^2\); 9) \(h_{\max} = 4{,}90\) см; 10) \(w = 3{,}00\) см/с; 11) \(w'_0 = 4{,}80\) см/с; 12) \(h'_{\max} = 3{,}92\) см.
▶РешениеСкрыть
Приток: при \(h = 0\) оттока нет, поэтому \(q_{\text{вх}} = w_0 S = S_{\text{тр}} v\), откуда \(S_{\text{тр}} = \dfrac{w_0 S}{v} = \dfrac{0{,}060\cdot0{,}024}{2{,}0}\text{ м}^2 = 7{,}2\cdot10^{-4}\text{ м}^2 = 7{,}20\) см\(^2\). Установившийся уровень: \(q_{\text{вх}} = \alpha\rho g h_{\max}\), значит \(h_{\max} = \dfrac{w_0 S}{\alpha\rho g} = \dfrac{1{,}44\cdot10^{-3}}{3{,}0\cdot10^{-6}\cdot1000\cdot9{,}8}\text{ м} \approx 0{,}049\text{ м} = 4{,}90\) см. Скорость подъёма: \(w(h) = w_0\left(1 - \dfrac{h}{h_{\max}}\right)\); при \(h = h_{\max}/2\) получаем \(w = w_0/2 = 3{,}00\) см/с. Если сосуд движется вниз со скоростью \(u\), скорость притока относительно сосуда равна \(v - u\), поэтому \(w'_0 = w_0\left(1 - \dfrac{u}{v}\right) = 0{,}060\cdot0{,}8 = 0{,}048\) м/с \(= 4{,}80\) см/с, а \(h'_{\max} = h_{\max}\left(1 - \dfrac{u}{v}\right) = 4{,}90\cdot0{,}8 \approx 3{,}92\) см.
зад 4 Стенд для испытания пружин
Когда механик массой \(m = 75\) кг садится в автомобиль, суммарное дополнительное сжатие четырёх одинаковых автомобильных пружин под действием его веса составляет \(d = 2{,}4\) см. Механик извлёк одну пружину и установил её в стенд для испытания пружин (см. рисунок). Стенд представляет собой лёгкий рычаг длиной \(y = 60\) см, который шарнирно прикреплён к стене. Под рычагом на расстоянии \(x = 6\) см от стены механик разместил пружину, а к свободному концу рычага приложил вертикально вниз силу \(F\). В ходе испытания пружина в стенде сжалась на \(z = 0{,}4\) см. Пружина и смещение конца рычага вертикальны. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
Определите коэффициент жёсткости пружины \(k\). Ответ выразите в кН/м, округлив до сотых долей.
На какое расстояние в ходе испытания сместился свободный конец рычага? Ответ выразите в см, округлив до десятых долей.
Определите величину силы \(F\). Ответ выразите в ньютонах, округлив до целого числа.
Механик планирует модернизировать стенд, передвинув пружину на \(\Delta x = 1{,}7\) см ближе к стене. Каким будет вертикальное смещение свободного конца рычага в модернизированном стенде при приложении к нему прежней вертикальной силы \(F\)? Ответ выразите в метрах, округлив до сотых долей.
▶ПодсказкаСкрыть
Вес механика уравновешивается суммарной силой упругости четырёх пружин. Для рычага используйте равенство моментов относительно шарнира и подобие треугольников для смещения конца.
▶ОтветСкрыть
13) \(31{,}25\) кН/м; 14) \(4{,}0\) см; 15) \(13\) Н; 16) \(0{,}08\) м.
▶РешениеСкрыть
Жёсткость одной пружины: \(mg = 4k\cdot\dfrac{d}{4} = kd\), откуда \(k = \dfrac{mg}{d} = \dfrac{75\cdot10}{0{,}024}\text{ Н/м} \approx 31{,}25\) кН/м. Смещение конца рычага (подобие треугольников): \(\Delta = \dfrac{y}{x}\,z = \dfrac{60}{6}\cdot0{,}4 = 4{,}0\) см. Равенство моментов относительно шарнира: \(F y = k z x\), откуда \(F = \dfrac{k z x}{y} = \dfrac{31250\cdot0{,}004\cdot0{,}06}{0{,}6} \approx 12{,}5\) Н, округлённо \(13\) Н. После перестановки пружины при той же силе \(F\) имеем \(\Delta \propto 1/x^2\): \(\Delta' = \Delta\left(\dfrac{x}{x'}\right)^2\), где \(x' = x - \Delta x = 4{,}3\) см, поэтому \(\Delta' = 4{,}0\cdot\left(\dfrac{6}{4{,}3}\right)^2 \approx 7{,}8\) см \(\approx 0{,}08\) м.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2025/26, школьный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.