Кирпичи

Стопка кирпичей не опрокинется, если центр масс всех кирпичей, лежащих сверху каждого, не окажется правее его края. Для нахождения удовлетворяющих этому условию сдвигов кирпичей на рисунке покажем координаты \(x_i\) центров масс кирпичей. Верхнему кирпичу соответствует \(i = 1\).

Координаты отсчитываются от края верхнего кирпича. Кирпич с номером \(i\) сдвинут относительно \((i+1)\)-го на величину \(\Delta_i\). Координата \(x_{ci}\) центра масс стопки кирпичей, лежащих выше \((i+1)\)-го, определяется соотношением \[x_{ci} = \frac1i\sum_{k=1}^{i} x_k,\] поскольку все кирпичи имеют одинаковые массы. Условие равновесия кирпичей для предельных сдвигов можно записать так: \[x_{ci} = x_{i+1} - \frac a2, \qquad\text{или}\qquad x_{i+1} = \frac a2 + \frac1i\sum_{k=1}^{i} x_k. \tag{21}\] Находим смещение \(i\)-го кирпича: \[\Delta_i = \frac1i\sum_{k=1}^{i} x_k - \frac{1}{i-1}\sum_{k=1}^{i-1} x_k. \tag{22}\] Преобразуем это выражение, выделив последнее слагаемое в первой сумме и используя условие (21): \[\begin{aligned} \Delta_i &= \frac1i\left(\sum_{k=1}^{i-1} x_k + x_i\right) - \frac{1}{i-1}\sum_{k=1}^{i-1} x_k = \\ &= \frac{-1}{(i-1)i}\sum_{k=1}^{i-1} x_k + \frac{x_i}{i} = \\ &= \frac1i\left(x_i - \frac{1}{i-1}\sum_{k=1}^{i-1} x_k\right) = \frac{a}{2i}. \end{aligned}\] Итак, смещения кирпичей начиная с верхнего образуют последовательность \[\Delta_i = \frac{a}{2i} = \frac a2,\ \frac a4,\ \frac a6,\ \ldots \tag{23}\] Найдём смещение нижнего кирпича с номером \(n\) относительно верхнего: \[\Delta(n) = \sum_{i=1}^{n} \Delta_i.\] В задаче требуется подобрать такое \(n\), что \(\Delta(n) \geqslant a/2\). Находя суммы \(n = 2, 3, 4\) членов последовательности (23), получаем \[\Delta(2) = 0{,}75a; \qquad \Delta(3) = 0{,}92a; \qquad \Delta(4) = 1{,}04a > a.\] Таким образом, требованию задачи удовлетворяет стопка из пяти кирпичей, смещения которых друг относительно друга равны \[\frac a2,\quad \frac a4,\quad \frac a6,\quad \frac a8.\] Если продолжать наращивать число кирпичей таким же образом, то смещение верхнего кирпича относительно нижнего может стать сколь угодно большим, поскольку \[\sum_{i=1}^{\infty}\frac1i = \infty.\] В самом деле, при большом числе слагаемых можно приближённо принять, что \[\sum_{i=1}^{n}\frac1i \approx \int\limits_1^n \frac{dx}{x} = \ln n,\] а логарифм стремится к бесконечности при \(n \to \infty\).