Эдуард занимался ремонтом в ванной, когда ему в голову пришла идея: собрать «цветок» из кафельной плитки. Для этого он положил на пол одну плитку, на неё ещё четыре, которые образуют квадрат, повёрнутый относительно первой на \(45^\circ\), и придавил эту конструкцию сверху стопкой плиток, которые расположены так же, как и самая первая (см. рис.). Какое минимальное количество плиток должно быть в стопке, чтобы система была устойчива? Считайте, что все плитки одинаковы, и масса плитки равномерно распределена по площади.

Потребуется \(N_{\min}=2\) плитки: из \(N\ge 4(\sqrt2-1)\approx 1{,}7\) следует, что в стопке должно быть не меньше двух плиток.

Кафельный цветок — Санкт-Петербургская 2017/18, 8 кл., задача 1

Кафельный цветок
Санкт-Петербургская 2017/18, 8 кл.
4/10
Эдуард занимался ремонтом в ванной, когда ему в голову пришла идея: собрать «цветок» из кафельной плитки. Для этого он положил на пол одну плитку, на неё ещё четыре, которые образуют квадрат, повёрнутый относительно первой на \(45^\circ\), и придавил эту конструкцию сверху стопкой плиток, которые расположены так же, как и самая первая (см. рис.). Какое минимальное количество плиток должно быть в стопке, чтобы система была устойчива? Считайте, что все плитки одинаковы, и масса плитки равномерно распределена по площади.

▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Какие силы действуют на одну плитку «цветка», если сверху ничего нет? Где проходит ось рычага и где находится центр масс плитки? Запишите правило рычага относительно точки опоры для одной плитки.
Ответ
Потребуется \(N_{\min}=2\) плитки: из \(N\ge 4(\sqrt2-1)\approx 1{,}7\) следует, что в стопке должно быть не меньше двух плиток.
Решение
Плитка, входящая в «цветок», представляет собой рычаг с точкой опоры в \(A\). Когда сверху ничего нет, на плитку действует лишь сила тяжести, приложенная к центру масс \(O\), который находится в центре квадрата. Это единственная сила, действующая на плитку, а раз точка её приложения находится вне опоры, «цветок» разваливается.

Пусть сверху положена стопка из \(N\) плиток, масса одной плитки \(m\). Запишем правило рычага относительно точки \(A\) для одной из плиток «цветка» (из симметрии следует, что каждую плитку «цветка» уравновешивает четверть суммарной силы тяжести стопки): \[l_1\cdot\tfrac14 Nmg \ge l_2\cdot mg .\] Отсюда \(N\ge 4\,\dfrac{l_2}{l_1}\). Из геометрии: \(l_1+l_2=\dfrac{\sqrt2}{2}L\) (половина диагонали квадрата), \(l_1=\dfrac12 L\), поэтому \(l_2=\dfrac12(\sqrt2-1)L\), где \(L\) — сторона плитки. Таким образом \(N\ge 4(\sqrt2-1)\approx 1{,}7\), значит, чтобы уравновесить систему, потребуется как минимум две плитки.

Ответ: потребуется хотя бы 2 плитки.
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Кафельный цветок

Кафельный цветок

Похожие задачи