Нанороботы

Пятно растёт каждые 5 с, когда роботы доходят до узлов сетки. Какую фигуру образуют самые удалённые роботы? На сколько увеличивается её сторона за каждый такой шаг?

Так как длина стороны треугольника равна \(0{,}5\) мм, а скорость роботов \(0{,}1\) мм/с, то «картинка» будет меняться каждые 5 с, когда роботы доходят до узлов сетки. Рассмотрим положение роботов в начальный момент времени, через 5 с и через 10 с после начала движения. Важно заметить, что следует рассматривать только «максимально удалённых роботов»: по любому из возможных путей пройдёт хотя бы один робот, то есть все рёбра на этом пути окажутся покрашенными.

Получившаяся фигура — шестиугольник, длина стороны которого за каждые 5 с увеличивается на \(a=0{,}5\) мм. Таким образом, длина ребра шестиугольника \[L=\frac{a\cdot t}{5\ \text{с}} .\] Через 3 часа (\(t=10\,800\) с) \[L=\frac{0{,}1\ \text{мм}}{\text{с}}\cdot 10\,800\ \text{с}\approx 1\ \text{м}.\] Площадь шестиугольника со стороной \(L\) можно найти, разбив его на шесть равносторонних треугольников: \[S=6\cdot\frac{\sqrt3 L^2}{4}=\frac{3\sqrt3}{2}L^2\approx 3\ \text{м}^2 .\] Заметим, что на самом деле рёбра, находящиеся на сторонах шестиугольника, не будут покрашены. Однако нас интересует столь большое время, что этим фактом можно пренебречь.

Ответ: площадь пятна составит \(3\) м\(^2\).