Ледовая арена

Какую максимальную разность температур выдерживает ковёр без таяния льда? Что произойдёт с разностью температур, если ковёр сделать в \(k\) раз толще при том же потоке тепла?

Пусть исходно ковёр имел толщину \(d\). По условию при достижении температуры в помещении \(t_1=15\,^\circ\)C лёд под ковром начал таять, а значит, в этот момент его температура достигла \(t_0=0\,^\circ\)C. Мощность потока тепла через ковёр (толщины \(d\)) пропорциональна разности температур на поверхностях. Пусть коэффициент пропорциональности равен \(\alpha\), тогда мощность потока \[P=\alpha\,\Delta t_1=\alpha\,(t_1-t_0).\] Посмотрим, как изменится разность температур между верхней и нижней поверхностями ковра, если увеличить его толщину в \(k\) раз, а поток оставить таким же. Мысленно разделим новый «толстый» ковёр на \(k\) слоёв. Каждый такой слой имеет толщину \(d\) и коэффициент \(\alpha\). Любой слой пропускает фиксированный поток тепла \(P\), иначе температура менялась бы и равновесия не было. Значит, на границах каждого слоя разность температур равна \(\Delta t_1=15\,^\circ\)C, а для всего ковра \[\Delta t_2=k\,\Delta t_1 .\] Минимальная толщина ковра будет при условии, что разность температур между границами минимальна. Так как в помещении температура должна быть \(t_2=20\,^\circ\)C, а у льда температура не больше \(t_0=0\,^\circ\)C, минимальная разность \(\Delta t_2=t_2-t_0\). Тогда \[k=\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}=\frac{20\,^\circ\text{C}}{15\,^\circ\text{C}}=\frac43 .\] Нецелое число решается так: разделить исходный ковёр на три слоя, на каждом из которых температура падает на \(5\,^\circ\)C, и мысленно положить четыре слоя толщины \(d/3\).

Ответ: нужно увеличить толщину ковра в \(\dfrac43\) раза.