Снежок и фонарь

Тень движется сначала от столба, потом к нему; точка разворота соответствует моменту, когда лучи идут по касательной к траектории снежка. Где в этот момент находится тень относительно точки броска?

Поймём, как движется тень. Закрепим фонарь в некоторой точке столба, но выше верхней точки траектории снежка, иначе тень уйдёт на бесконечность. Будем отмечать положения тени при различных положениях снежка. Сначала тень движется от столба, затем — к нему. Точке разворота соответствует момент, когда снежок летит прямо на фонарь, т.е. когда лучи света идут по касательной к траектории снежка.

Пусть \(H\) — высота столба, \(h\) — максимальная высота подъёма снежка, \(L\) — дальность полёта снежка, а \(l\) — путь тени при её движении от столба. Путь тени складывается из двух частей: \[s=L+2l .\] По условию \[\frac{L}{s}=\frac{h}{H}=\frac{2{,}5\ \text{м}}{5\ \text{м}}=\frac12 .\] Подставляем \(s=L+2l\) и находим \(l\): \[\frac{L}{L+2l}=\frac12\ \Rightarrow\ l=\frac{L}{2}=\frac{5\ \text{м}}{2}=2{,}5\ \text{м}.\] Отмечаем точку разворота тени на расстоянии \(l\) справа от точки броска и проводим через неё касательную к траектории снежка. Касательная пересечёт столб в точке крепления фонаря. Получаем, что высота крепления фонаря равна \(4\) м.

Ответ: фонарь находится на высоте \(4\) м от земли.