Баскетбольные кольца

В отсутствие силы тяжести мяч летел бы по прямой к кольцу 0; отклонение от неё вниз растёт пропорционально квадрату расстояния, пройденного по горизонтали. Найдите коэффициент по точке \(B\).

В кольцо номер 6.

Введём систему координат, выбрав в качестве начала координат точку \(A\) и направив ось \(x\) по горизонтали к стенке, перпендикулярно ей, а ось \(y\) — вертикально вверх. В поле силы тяжести мяч движется по параболе, уравнение которой в данной системе координат имеет вид \(y = kx - bx^2\), где \(k\) и \(b\) — некоторые положительные коэффициенты.

Можно считать, что вблизи точки бросания мяч движется прямолинейно (\(y \approx kx\)) по направлению к кольцу с номером 0. Из рисунка определяем, что \(k = \dfrac{7}{24}\). Найдём теперь коэффициент \(b\). Обозначим через \(L\) расстояние между двумя соседними кольцами; тогда точка \(B\) имеет координаты \((4L;\, L/2)\). Тогда для точки \(B\) имеем: \[\dfrac{L}{2} = \dfrac{7}{24}\cdot 4L - b\cdot(4L)^2, \quad\text{откуда}\quad b = \dfrac{1}{24L}.\] Вертикальная прямая, на которой расположены центры колец, имеет координату \(x = 12L\). Мяч пересечёт её в точке с координатой \[y = \dfrac{7}{24}\cdot 12L - \dfrac{1}{24L}\cdot(12L)^2 = -2{,}5L,\] то есть попадёт в баскетбольное кольцо номер 6.

Задачу можно пытаться решать, исходя из того, что тело, свободно падающее без начальной скорости, за последовательные равные промежутки времени проходит расстояния, относящиеся друг к другу, как \(1:3:5:\ldots\) В данной задаче эти расстояния нужно отсчитывать от пунктирной прямой на рисунке, вдоль которой двигалось бы тело в отсутствие силы тяжести. Однако масштаб рисунка не позволяет достаточно точно определить, на каком расстоянии от точки \(B\) находится эта прямая, что снижает точность дальнейших вычислений. Поэтому при таком способе решения может получиться, что мяч попадёт между 6-м и 7-м кольцами.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.