Подъём человека с грузом

Из равновесия в начале найдите массу человека через массу груза; из нерастяжимости верёвки свяжите скорость её конца со скоростью подъёма.

Подъём длился \(\tau = \dfrac{3h}{v} = 5\) с; работа \(A = 4mgh + \dfrac{2}{9}mv^2 = 2008\) Дж.

Найдём соотношение масс груза \(m\) и человека \(M\). Первоначально, когда человек покоился, система находилась в равновесии. При этом сила тяжести \(mg\), действующая на груз, уравновешивалась силой натяжения верёвки \(T_0\), а сила тяжести \(Mg\), действующая на человека, уравновешивалась силой \(3T_0\). Следовательно, \(M = 3m\).

Когда человек начал двигаться с ускорением, равновесие нарушилось, и сила натяжения верёвки \(T\) стала больше \(mg\). Направленные вверх ускорения груза \(a_1\) и человека \(a\) можно найти с помощью второго закона Ньютона: \[a_1 = \dfrac{T - mg}{m}; \qquad a = \dfrac{3T - Mg}{M} = \dfrac{3T - 3mg}{3m} = \dfrac{T - mg}{m}.\] Таким образом, эти ускорения равны; поэтому и скорости, приобретаемые грузом и человеком, а также пройденные ими расстояния, оказываются равными во все моменты времени.

Выразим направленную вниз скорость \(v\) свободного конца верёвки через направленную вверх скорость человека \(u\), равную скорости груза. За время подъёма \(\tau = \dfrac{h}{u}\) длина нерастяжимой верёвки не изменяется, поэтому \(v\tau - 3u\tau = 0\), и \(u = \dfrac{v}{3}\). Отсюда длительность подъёма \(\tau = \dfrac{3h}{v} = 5\) с.

Работа \(A\), совершённая человеком, пошла на увеличение потенциальной энергии человека и груза, а также на придание им кинетической энергии: \[A = (m + M)gh + \dfrac{(m + M)u^2}{2} = 4mgh + \dfrac{2}{9}mv^2 = 2008\text{ Дж}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.