Карандаш, опускаемый в воду

Вертикальное положение устойчиво, пока момент сил тяжести и Архимеда относительно точки подвеса при малом наклоне возвращает карандаш; найдите длину погружённой части, при которой этот момент обращается в ноль.

\(h = l\left(1 - \sqrt{1 - \dfrac{1}{n}}\right) = l\left(1 - \dfrac{\sqrt2}{2}\right) \approx 5{,}3\) см.

Рассмотрим карандаш, погруженный в воду и отклонённый от вертикали на малый угол \(\alpha\). Суммарный момент сил тяжести и Архимеда относительно горизонтальной оси, проходящей через верхний конец карандаша, равен \[M = mg\dfrac{l}{2}\sin\alpha - F_A\left(l - \dfrac{x}{2}\right)\sin\alpha,\] где \(F_A = \rho g S x\) — сила Архимеда, \(\rho\) — плотность воды, \(S\) — площадь поперечного сечения карандаша, \(x\) — длина погруженной в воду части карандаша, \(m = (\rho/n)Sl\) — масса карандаша. При \(M > 0\) момент сил возвращает карандаш в вертикальное положение, при \(M < 0\) увеличивает отклонение карандаша от вертикали. Формулу для момента сил можно переписать в виде: \[M = \left(x^2 - 2lx + \dfrac{l^2}{n}\right)\dfrac{\rho g S}{2}\sin\alpha.\] Из этой формулы следует, что при малых \(x\) момент \(M > 0\) и, следовательно, вертикальное положение карандаша будет устойчивым. Потеря устойчивости вертикального положения происходит при \[x = l\left(1 - \sqrt{1 - \dfrac{1}{n}}\right),\] когда момент сил меняет знак с положительного на отрицательный. При дальнейшем погружении карандаша он будет отклоняться от вертикали, но длина \(x\) погруженной в воду его части меняться не будет, поскольку в равновесии момент сил \(M\) должен оставаться равным нулю. Поэтому глубина погружения нижнего конца карандаша, равная \(x\cos\alpha\), будет при этом уменьшаться. Итак, максимальная глубина погружения нижнего конца карандаша равна \[h = l\left(1 - \sqrt{1 - \dfrac{1}{n}}\right) = l\left(1 - \dfrac{\sqrt2}{2}\right) \approx 5{,}3\text{ см}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.