Модель крокодила Гены

Критическая глубина погружения модели крокодила соответствует положению неустойчивого равновесия; сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой, действующей на суммарный объём модели и пакетов с воздухом. Обозначив через \(M\), \(\rho_{\text{м}}\), \(V_{\text{м}}\) массу, плотность и объём модели крокодила, через \(V_0\), \(V_{\text{с}}\) и \(V_{\text{п}}\) — объёмы воздуха в полиэтиленовых пакетах соответственно над водой и при погружении на критическую глубину в морской и речной воде, а через \(p_0\) — атмосферное давление, запишем: \[Mg = \rho_{\text{с}}(V_{\text{м}} + V_{\text{с}})g\qquad (1)\] в морской воде; \[Mg = \rho_{\text{п}}(V_{\text{м}} + V_{\text{п}})g\qquad (1')\] в речной воде.

При погружении объём воздуха в полиэтиленовых пакетах уменьшается, причём согласно закону Бойля–Мариотта \[p_0V_0 = (p_0 + \rho_{\text{с}}gh_{\text{с}})V_{\text{с}},\qquad (2)\] \[p_0V_0 = (p_0 + \rho_{\text{п}}gh_{\text{п}})V_{\text{п}}.\qquad (2')\] Это две системы уравнений, которые нам понадобятся. Произведём преобразования уравнений (1) и (1\('\)): \[\rho_{\text{м}}V_{\text{м}} = \rho_{\text{с}}(V_{\text{м}} + V_{\text{с}})\qquad (3)\] в морской воде, \[\rho_{\text{м}}V_{\text{м}} = \rho_{\text{п}}(V_{\text{м}} + V_{\text{п}})\qquad (3')\] в речной воде, \[\rho_{\text{с}}V_{\text{с}} = (\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{с}})V_{\text{м}}\qquad (4)\] в морской воде, \[\rho_{\text{п}}V_{\text{п}} = (\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{п}})V_{\text{м}}\qquad (4')\] в речной воде.

Из последних двух уравнений находим \[\dfrac{\rho_{\text{с}}V_{\text{с}}}{\rho_{\text{п}}V_{\text{п}}} = \dfrac{\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{с}}}{\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{п}}}.\] Взяв величину \(V_{\text{с}}/V_{\text{п}}\) из уравнений (2) и (2\('\)), имеем \[\rho_{\text{с}}(p_0 + \rho_{\text{п}}gh_{\text{п}})(\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{п}}) = \rho_{\text{п}}(p_0 + \rho_{\text{с}}gh_{\text{с}})(\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{с}}),\] откуда после преобразований получаем \[\rho_{\text{м}} = \dfrac{h_{\text{с}}\rho_{\text{с}} - h_{\text{п}}\rho_{\text{п}}}{h_{\text{с}} - h_{\text{п}} - \left(\dfrac{p_0}{\rho_{\text{с}}\rho_{\text{п}}g}\right)(\rho_{\text{с}} - \rho_{\text{п}})} \approx 1150\text{ кг/м}^3.\]