Плавание тел, устойчивость плавания

Надводная часть айсберга имеет объем \(500\text{ м}^3\). Найдите массу айсберга (в тоннах). Плотность воды считайте равной \(1000\text{ кг/м}^3\), плотность льда — равной \(900\text{ кг/м}^3\).

Чему равна плотность керосина, если плавающий в нем сплошной деревянный куб с длиной ребра \(a = 16\) см выступает над поверхностью жидкости на \(h = 2\) см? Плотность дерева равна 700 кг/м\(^3\). Верхняя грань куба горизонтальна. Ответ выразите в кг/м\(^3\).

Плоская шайба плавает на поверхности раздела воды и бензина, погрузившись в воду на 10% своего объема \(V\). Определите плотность материала шайбы. Плотность бензина \(\rho_1 = 600\) кг/м\(^3\), плотность воды \(\rho_2 = 1000\) кг/м\(^3\). Ответ выразите в кг/м\(^3\).

При переходе из моря в реку с корабля сняли груз, при этом осадка судна не изменилась. В реке масса корабля с оставшимся грузом составляет \(m = 5000\) т, плотность морской воды равна \(\rho_м = 1030\) кг/м\(^3\), плотность воды в реке \(\rho_р = 1000\) кг/м\(^3\). Чему равна масса снятого груза? Ответ выразите в тоннах.

Пробка плавает сначала в воде, а потом в масле. В каком случае объём погруженной части пробки больше, и во сколько раз? Плотность воды \(\rho_\text{в} = 1{,}0\text{ г/см}^3\), плотность масла \(\rho_\text{м} = 0{,}9\text{ г/см}^3\).

В озере плавает льдина (рисунок слева). Высота выступающей над водой части льдины равна 3 см. Начался снегопад, и на льдине стал плавно нарастать слой снега. При какой минимальной толщине слоя снега льдина окажется полностью притопленной в воду, как на рисунке справа? Считайте, что слой снега однородный и имеет плотность 150 кг/м\(^3\). Плотность воды 1000 кг/м\(^3\). Ветра нет, поверхности воды и льдины гладкие. Ответ выразите в см, округлите до целых.

Однажды зимой рыболов пробурил лунку во льду на поверхности озера и обнаружил, что вода в лунке находится на глубине \(h = 18\) см, если отсчитывать от поверхности льда на озере. Расстояние от лунки до ближайшей точки берега озера во много раз больше, чем толщина слоя льда и радиус лунки. Вычислите толщину \(H\) слоя льда, считая её одинаковой на всей поверхности озера. Плотность воды равна \(\rho_\text{в} = 1000\) кг/м\(^3\), плотность льда равна \(\rho_\text{л} = 900\) кг/м\(^3\). Массой снега, рыболова и всех других объектов на поверхности озера пренебречь.

В шарообразный сосуд массой 500 г с внутренним объемом 1,25 дм\(^3\), сделанный из материала плотностью 2000 кг/м\(^3\) и плавающий на поверхности воды, наливают воду. Сколько воды будет в сосуде в тот момент, когда он полностью погрузится в жидкость? Плотность воды 1000 кг/м\(^3\). Ответ дайте в граммах.

Шар объемом 1 м\(^3\), изготовленный из материала плотностью 2000 кг/м\(^3\), должен плавать, погрузившись полностью, в жидкости плотностью 800 кг/м\(^3\). Какого объема полость следует оставить в шаре? Ответ дайте в дм\(^3\).

Имеется сосуд с водой в форме куба длиной ребра \(1\text{ дм}\). На сколько поднимется уровень воды в сосуде, если аккуратно положить в сосуд \(900\text{ г}\) льда и подождать, когда лёд растает? Плотность льда \(900\text{ кг/м}^3\), плотность воды \(1000\text{ кг/м}^3\), вода из сосуда не выливается. Ответ представьте в сантиметрах и округлите до целых.

Ученик 8-го класса решил экспериментально проверить закон Архимеда, который он изучил раньше, когда учился в седьмом классе. Он взял прямоугольный лист пенопласта толщиной \(h = 11\) см и положил его на поверхность воды. Затем ученик поставил на пенопласт оловянного солдатика и измерил высоту верхней грани листа над поверхностью воды, которая оказалась равной \(h_1 = 8\) см. Когда ученик поставил на пенопласт второго такого же солдатика, высота верхней грани листа над поверхностью воды стала равной \(h_2 = 7\) см. Найдите по результатам этого опыта отношение \(n\) массы пенопласта к массе солдатика.

На плоту хотели перевезти по реке товар весом 900 кг. Когда товар загрузили на плот, плот начал тонуть. Под плот быстро поместили большую воздушную подушку и накачали её, после чего плот перестал тонуть, но оказался полностью погруженным в воду, а товар при этом остался сухим. Каков был объём накачанной подушки? Объём находящейся в воде части плота равен 4 м\(^3\), его плотность 0,8 кг/дм\(^3\). Плотность воды 1 кг/дм\(^3\). Ответ выразите в дм\(^3\), округлите до целого числа.

В центре кубика льда массой 100 г при температуре \(0\) ℃ находится свинцовая дробинка массой 2 г. Этот кубик льда поместили в воду, температура которой также равна \(0\) ℃. Окружающий воздух имеет комнатную температуру, поэтому лёд медленно тает со скоростью 5 г/мин. Через некоторое время \(T\) после начала процесса таяния кубик целиком погружается в воду. Определите время \(T\). Плотность свинца составляет 11300 кг/м\(^3\), плотность воды равна 1000 кг/м\(^3\), а плотность льда — 900 кг/м\(^3\). Ответ выразите в мин, округлите до десятых.

В Интернете сейчас можно найти видеозаписи различных физических опытов, в частности, такого: группа студентов напускает в большое корыто до краев какой-то тяжелый газ из баллона, а потом кладет на поверхность этого газа в корыте модель корабля, согнутую из алюминиевой фольги, и этот «корабль» плавает! Потом студенты зачерпывают ковшиком газ из корыта, переливают его внутрь «корабля», и он тонет. Найдите, какой минимальной плотностью должен обладать этот тяжелый газ, чтобы в нем мог плавать «корабль» в форме прямоугольного параллелепипеда (с открытым верхом), согнутый из бытовой алюминиевой фольги толщиной 25 мкм. Размеры «корабля»: длина "— 50 см, ширина "— 20 см, высота бортов "— 10 см. Считать, что лишние куски, образовавшиеся при сгибании параллелепипеда из листа фольги, удалены. Плотность алюминия 2,7 г/см\(^3\), плотность воздуха 1,3 кг/м\(^3\).

В интернете сейчас можно легко найти видеозаписи различных физических опытов, в частности, такого:

Группа студентов напускает в большое корыто до краев какой-то тяжелый газ из баллона, а потом кладет на поверхность этого газа в корыте модель корабля, согнутую из алюминиевой фольги, и этот «корабль» плавает, как настоящий «летучий голландец»! Потом студенты зачерпывают ковшиком газ из корыта, переливают его внутрь «корабля», и он тонет.

Найдите, какой минимальной молярной массой \(M\) должен обладать этот тяжелый газ, чтобы в нем мог плавать «корабль» в форме прямоугольного параллелепипеда (с открытым верхом), согнутый из бытовой алюминиевой фольги толщиной \(h = 25\) мкм. Размеры «корабля»: длина \(a = 50\) см, ширина \(b = 20\) см, высота бортов \(c = 10\) см. Считать, что лишние куски, образовавшиеся при сгибании параллелепипеда из листа фольги, удалены. Плотность алюминия \(\rho_{\text{Al}} = 2{,}7\) г/см\(^3\), плотность воздуха при данных условиях равна \(\rho_{\text{в}} = 1{,}3\) кг/м\(^3\), средняя молярная масса воздуха \(M_{\text{в}} = 29\) г/моль.

Два связанных друг с другом шарика, алюминиевый и деревянный, находятся в безразличном равновесии в сосуде с водой, не касаясь его дна, стенок и поверхности воды. Масса алюминиевого шарика составляет 54 г. Какова масса деревянного шарика? Ответ выразите в граммах и округлите до целых. Отношение плотностей алюминия, дерева и воды составляет \(2{,}7 : 0{,}8 : 1\).

В цилиндрическом стакане, наполненном водой (плотность воды 1,00 г/см\(^3\)), плавает кусочек пробки массой 12 г (плотность пробки 0,24 г/см\(^3\)). Площадь поперечного сечения стакана 30 см\(^2\).

Вопрос A (1 балл). Найдите объем пробки. Ответ представьте в кубических сантиметрах и округлите до целых.

Вопрос B (2 балла). Найдите объем подводной части пробки. Ответ представьте в кубических сантиметрах и округлите до целых.

Вопрос C (3 балла). Груз какой максимальной массы можно положить на пробку, чтобы пробка еще могла оставаться на плаву? Ответ выразите в граммах и округлите до целых.

Вопрос D (4 балла). На пробку сверху положили гайку массой 18 г. Пробка осталась на плаву, причем гайка не коснулась воды. На сколько миллиметров поднялся уровень воды в стакане? Ответ округлите до десятых.

В сосуде площадью поперечного сечения 2 дм\(^2\) плавает шайба площадью 1,6 дм\(^2\) и высотой 5 см. Шайба выступает из воды на 0,5 см, а расстояние между нижней гранью шайбы и дном сосуда составляет 10 см. Когда в сосуд дополнительно налили масло, верхняя грань шайбы оказалась в точности на уровне масла, а толщина слоя масла составила 3,5 см.

1. (3 балла) Найдите объем воды в сосуде. Ответ представьте в литрах и округлите до второй значащей цифры.

2. (5 баллов) Найдите расстояние от нижней грани шайбы до дна сосуда после доливания масла. Ответ представьте в сантиметрах и округлите до третьей значащей цифры.

3. (2 балла) Найдите объем масла, долитого в сосуд. Ответ представьте в литрах и округлите до второй значащей цифры.

В сосуде площадью поперечного сечения 2 дм\(^2\) плавает шайба площадью 1,6 дм\(^2\) и высотой 5 см. Шайба выступает из воды на 0,5 см, а расстояние между нижней гранью шайбы и дном сосуда составляет 10 см. Когда в сосуд дополнительно налили масло, верхняя грань шайбы оказалась в точности на уровне масла, а толщина слоя масла составила 3,5 см. Плотность воды 1000 кг/м\(^3\).

1. (2 балла) Найдите объем воды в сосуде. Ответ представьте в литрах и округлите до второй значащей цифры.

2. (2 балла) Найдите массу шайбы. Ответ представьте в граммах и округлите до второй значащей цифры.

3. (3 балла) Найдите расстояние от нижней грани шайбы до дна сосуда после доливания масла. Ответ представьте в сантиметрах и округлите до третьей значащей цифры.

4. (1 балл) Найдите объем масла, долитого в сосуд. Ответ представьте в литрах и округлите до второй значащей цифры.

5. (2 балла) Найдите отношение плотности масла к плотности воды. Ответ округлите до второй значащей цифры.

Кубик из пластилина с длиной ребра 4 см, в котором есть внутренняя полость, держится в жидкости на плаву, погружаясь в нее на \(1/24\) своего объёма. Если этот пластилиновый кубик смять и снова вылепить из него кубик, но уже без полости, то новый кубик тоже держится на плаву, погружаясь на \(8/9\) своего объема. Считая, что при плавании верхняя грань кубика без полости горизонтальна, найдите, на сколько миллиметров он выступает из жидкости. Плотность пластилина при лепке не меняется.

Алюминиевый шарик с герметичной внутренней полостью аккуратно опустили в измерительный цилиндр, заполненный водой. При этом объём вытесненной жидкости был равен 18 мл. Затем этот же шарик аккуратно опустили в измерительный цилиндр, заполненный керосином. В этом случае объём вытесненной жидкости равнялся 20 мл. Найдите массу шарика, его объём и объём полости.

Плотность алюминия \(\rho_0 = 2{,}7\) г/см\(^3\), воды \(\rho_1 = 1{,}0\) г/см\(^3\), керосина \(\rho_2 = 0{,}8\) г/см\(^3\). Шарик не касался стенок цилиндра, уровень жидкости в цилиндре всегда был в несколько раз больше диаметра шарика.

Алюминиевый шарик с герметичной внутренней полостью аккуратно опустили в измерительный цилиндр, заполненный водой. При этом объём вытесненной жидкости был равен 18 мл. Затем этот же шарик аккуратно опустили в измерительный цилиндр, заполненный керосином. В этом случае объём вытесненной жидкости равнялся 20 мл. Найдите массу шарика, его объём и объём полости. Плотность алюминия \(\rho_0 = 2{,}7\) г/см\(^3\), воды \(\rho_1 = 1{,}0\) г/см\(^3\), керосина \(\rho_2 = 0{,}8\) г/см\(^3\). Шарик не касался стенок цилиндра, уровень жидкости в цилиндре всегда был в несколько раз больше диаметра шарика.

Ареометр — прибор для измерения плотности жидкостей, принцип работы которого основан на законе Архимеда. Обычно он представляет собой трубку, в нижней части которой помещён груз (см. рис. 2). Верхняя часть ареометра — цилиндр, на который нанесена шкала, проградуированная в значениях плотности. Считается, что ареометр изобрела Гипатия Александрийская — знаменитая женщина-учёный древности. Рассмотрим конструкцию самодельного ареометра для измерения плотности молока (лактометра). Плотность молока варьируется в пределах от минимального значения \(\rho_1 = 1015\) кг/м\(^3\) до максимального \(\rho_2 = 1040\) кг/м\(^3\). Разность максимального и минимального значения много меньше среднего значения, благодаря чему шкала такого лактометра линейна. Для изготовления лактометра взяли твёрдую цилиндрическую пластиковую трубку с внешним диаметром \(d = 16\) мм, внутрь которой снизу поместили груз и закрыли нижний конец заглушкой. Снаружи вся конструкция выглядит как цилиндр, а её общая масса равна \(m = 40\) г. На расстоянии \(h_0 = 20\) см от нижнего конца трубки нанесли первое деление, которое соответствовало некоторой плотности \(\rho_0\), немного меньшей \(\rho_1\). Вниз от первого деления стали наносить другие деления, расстояние между которыми было равно \(\Delta h = 1\) мм.

1. Чему равна цена деления \(\Delta\rho\) такого прибора?

2. Чему равна плотность \(\rho_0\), соответствующая первому делению?

3. Какое минимальное число \(N\) делений нужно нанести, чтобы измерять плотность молока во всём диапазоне значений от \(\rho_0\) до \(\rho_2\)?

Парафиновая свеча имеет цилиндрическую форму с площадью поперечного сечения \(S = 1\) см\(^2\). Длина свечи \(L = 20\) см. Если такая свеча горит на подсвечнике, то время её горения \(T = 3\) часа. На одном конце такой свечи подожгли фитиль, а к другому её концу прилепили стальной шарик диаметром \(D = 7\) мм. Свечу опустили в воду, и она, горя, некоторое время плавала в вертикальном положении, не касаясь дна сосуда. Сколько часов она горела? Плотность парафина \(\rho_\text{п} = 0{,}9\) г/см\(^3\), плотность стали \(\rho_\text{с} = 7{,}8\) г/см\(^3\), плотность воды \(\rho_\text{в} = 1{,}0\) г/см\(^3\). Объем шара радиусом \(R\) равен \(\frac{4}{3}\pi R^3\).

В цилиндрическом сосуде высотой \(h = 20\) см находится смесь воды и мелких кусочков льда (см. рис.). На поверхности плавает круглая стальная крышка толщиной \(d = 2\) мм, нижний край которой находится точно на поверхности воды. Найдите среднюю плотность смеси воды и льда. Плотность воды \(\rho_\text{в} = 1000\) кг/м\(^3\), плотность льда \(\rho_\text{л} = 900\) кг/м\(^3\), плотность стали \(\rho_\text{с} = 7800\) кг/м\(^3\). Трением льда о стенки сосуда пренебречь.

Когда на льдину поставили груз массой \(M = 90\) кг, объем ее надводной части уменьшился на 30%. Потом на льдину вышел школьник Антон, и объем надводной части уменьшился еще на 30%. Найдите массу Антона и массу льдины. Отношение плотностей льда и воды \(\rho_\text{л} : \rho_\text{в} = 0{,}9\).

Из одинаковых кубиков строят объемную пирамидку из 10-ти рядов, верхние три ряда которой изображены на рисунке (вид сверху). Кубики жестко скреплены между собой.

Если эту пирамидку опустить в сосуд с бензином, плотность которого равна \(\rho_1 = 0{,}8\) г/см\(^3\), то она будет плавать, погружаясь в бензин ровно на 3 нижних ряда.

Определите плотность жидкости, в которой эта пирамидка будет плавать, погружаясь ровно на 1 нижний ряд.

У школьника Вовы есть три кубика разных размеров. Длина ребра первого кубика равна \(l = 10\) см, второго – \(2l = 20\) см, а третьего – \(3l = 30\) см. Вова поставил кубики один на другой так, как показано на рисунке слева, погрузил в воду и отпустил. При установившемся равновесии самый большой кубик полностью погрузился в воду, а два других находились над водой. Кубики однородны и сделаны из одного и того же материала.

1. Определите плотность этого материала, если известно, что плотность воды равна 1000 кг/м\(^3\).

2. Вова хочет погрузить в воду два кубика (маленький и средний), рисунок справа. Определите, где будет находиться граница раздела кубиков: над водой, под водой или точно на уровне воды. Если над водой или под водой, то вычислите, на каком расстоянии от поверхности воды окажется граница раздела кубиков.

В цилиндрическом сосуде с площадью основания 10 см\(^2\) плавает в воде кусочек льда, в который вмерз стальной шарик. Масса шарика 3,0 г, плотность стали 7,8 г/см\(^3\), плотность воды 1,0 г/см\(^3\). На какое расстояние понизится уровень воды в сосуде после того, как лед растает? Ответ выразите в миллиметрах и округлите до десятых.

Сосуд с водой имеет форму куба длиной ребра 2 дм. В сосуд аккуратно кладут деревянный кубик длиной ребра 1 дм. При каком минимальном объеме воды в сосуде деревянный кубик будет плавать в воде? Ответ представьте в литрах и округлите до десятых. Плотность дерева составляет половину плотности воды.

В цилиндрическом сосуде с площадью основания 10 см\(^2\) плавает в воде кусочек льда, в который вмерз стальной шарик. Масса шарика 4,0 г, плотность стали 7,8 г/см\(^3\), плотность воды 1,0 г/см\(^3\). На какое расстояние понизится уровень воды в сосуде после того, как лед растает? Ответ выразите в миллиметрах и округлите до десятых.

Сосуд с водой имеет форму куба длиной ребра 2 дм. В сосуд аккуратно кладут деревянный кубик длиной ребра 1 дм. При каком минимальном объеме воды в сосуде деревянный кубик будет плавать в воде? Ответ представьте в литрах и округлите до десятых. Плотность дерева составляет половину плотности воды.

В сосуде с водой плавает куб массой \(m = 2048\) г, он прикреплен ко дну пружиной, другой конец которой прицеплен к центру нижней грани куба. Вначале пружина находится в недеформированном состоянии, а ровно половина куба выступает над водой, причем четыре его ребра вертикальны. Прошел дождь, и уровень воды в сосуде вырос на \(h = 20{,}48\) см, а вода оказалась как раз на уровне верхней поверхности куба. Определите удлинение \(\Delta l\) пружины и силу упругости \(F_{\text{упр}}\), с которой пружина воздействует на куб. Считайте, что плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1\) г/см\(^3\), а ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

В цилиндрический стакан до половины налили зеленую жидкость, которая не смешивается и никак не реагирует с водой, после чего отметили на стенке уровень жидкости. Затем в стакан опустили маленький кусочек льда (объем кусочка гораздо меньше объёма жидкости). При этом уровень зеленой жидкости в стакане поднялся на величину \(x\). После того, как весь лёд растаял, уровень зеленой жидкости над начальной отметкой составил \(y\). Постройте график зависимости отношения \(y/x\) от плотности \(\rho\) зеленой жидкости.

В герметично закрытом баке находится вода при температуре 0 °С. В воде плавает кусок льда массой 1 кг, в который вмёрзла свинцовая дробинка массой 100 г. Какое количество теплоты нужно подвести к содержимому бака, чтобы лёд с дробинкой затонули? Чему будет равна масса льда, в момент, когда лёд с дробинкой начнут тонуть? Как изменится уровень воды в баке после того, как лёд с дробинкой утонут?

Плотность воды \(\rho_\text{в} = 1{,}0\) г/см\(^3\), плотность льда \(\rho_\text{л} = 0{,}9\) г/см\(^3\), плотность свинца \(\rho_\text{с} = 11{,}3\) г/см\(^3\), удельная теплота плавления льда \(\lambda = 335\) кДж/кг. Дробинка находится в середине куска льда и не отрывается от него.

В герметично закрытом баке находится вода при температуре \(0\,{}^\circ\text{С}\). В воде плавает кусок льда массой 1 кг, в который вмёрзла свинцовая дробинка массой 100 г. Какое количество теплоты нужно подвести к содержимому бака, чтобы лёд с дробинкой затонули? Чему будет равна масса льда, в момент, когда лёд с дробинкой начнут тонуть? Как изменится уровень воды в баке после того, как лёд с дробинкой утонут?

Плотность воды \(\rho_\text{в} = 1{,}0\text{ г/см}^3\), плотность льда \(\rho_\text{л} = 0{,}9\text{ г/см}^3\), плотность свинца \(\rho_\text{с} = 11{,}3\text{ г/см}^3\), удельная теплота плавления льда \(\lambda = 335\text{ кДж/кг}\). Дробинка находится в середине куска льда и не отрывается от него.

В герметично закрытом баке находится вода при температуре 0 °С. В воде плавает кусок льда массой 1 кг, в который вмёрзла свинцовая дробинка массой 100 г. Какое количество теплоты нужно подвести к содержимому бака, чтобы лёд с дробинкой затонули? Чему будет равна масса льда в момент, когда лёд с дробинкой начнут тонуть? Как изменится уровень воды в баке после того, как лёд с дробинкой утонут?

Плотность воды \(\rho_\text{в} = 1{,}0\) г/см\(^3\), плотность льда \(\rho_\text{л} = 0{,}9\) г/см\(^3\), плотность свинца \(\rho_\text{с} = 11{,}3\) г/см\(^3\), удельная теплота плавления льда \(\lambda = 335\) кДж/кг. Дробинка находится в середине куска льда и не отрывается от него.

В соленом океане плавают три небольших айсберга 1, 2 и 3, как показано на рисунке (масштабы соблюдены не везде). Каждый из них имеет форму прямоугольного параллелепипеда. На айсберге 1 стоит человек. Площади поверхностей верхних граней у этих айсбергов одинаковы, а высоты надводных частей равны \(h_1 = 5\) см, \(h_2 = 10\) см и \(h_3 = 12\) см соответственно. Когда человек перешёл с айсберга 1 на айсберг 2, то при равновесии поверхности айсбергов 1 и 2 оказались на одинаковой высоте над уровнем воды. После этого человек перешёл с айсберга 2 на айсберг 3. Определите, какими после этого стали высоты надводных частей каждого из айсбергов, когда вновь наступило равновесие.

В цилиндрическом сосуде с водой плавает льдинка с привязанной к ней детской игрушкой. Силы натяжения всех нитей одинаковы и равны \(T\). Определите, в какую сторону и на сколько изменится уровень воды в стакане после того, как лёд растает. Площадь дна сосуда \(S\), плотность воды \(\rho\).

В цилиндрическом сосуде с водой плавает льдинка с привязанными к ней двумя детскими игрушками (см. рис.). Силы натяжения всех нитей одинаковы и равны \(T\). Определите, в какую сторону и на сколько изменится уровень воды в стакане после того, как лёд растает. Площадь дна сосуда \(S\), плотность воды \(\rho\).

В цилиндрическую кастрюлю, радиус основания которой равен \(R = 10\) см, налита вода и опущен кусок льда массой \(m = 400\) г. В этот кусок вморожена нитка, привязанная к воздушному шарику объёмом \(V = 8\) л, заполненному гелием. При этом уровень воды в кастрюле равен \(h = 30\) см. Кусок льда постепенно тает. В некоторый момент кусок льда уменьшается настолько, что воздушный шарик поднимает его над поверхностью воды. После этого шарик и лёд улетают. Чему в результате станет равен уровень воды в кастрюле? Плотность воды равна \(\rho_1 = 1000\) кг/м\(^3\), льда — \(\rho_2 = 900\) кг/м\(^3\), воздуха — \(\rho_3 = 1{,}25\) кг/м\(^3\), гелия — \(\rho_4 = 0{,}18\) кг/м\(^3\), массой оболочки шарика можно пренебречь. Считайте, что масса капель воды, образовавшихся при таянии льда и упавших в кастрюлю после отрыва льда от поверхности воды, пренебрежимо мала. Некоторые числовые данные не являются необходимыми для решения, но их можно использовать, если так вам будет проще.

В цилиндрическую кастрюлю, радиус основания которой равен \(R = 10\) см, налита вода и опущен кусок льда массой \(m = 400\) г. В этот кусок вморожена нитка, привязанная к воздушному шарику объёмом \(V = 8\) л, заполненному гелием. При этом уровень воды в кастрюле равен \(h = 30\) см. Кусок льда постепенно тает. В некоторый момент кусок льда уменьшается настолько, что воздушный шарик поднимает его над поверхностью воды. После этого шарик и лёд улетают. Чему в результате станет равен уровень воды в кастрюле? Плотность воды равна \(\rho_1 = 1000\) кг/м\(^3\), льда — \(\rho_2 = 900\) кг/м\(^3\), воздуха — \(\rho_3 = 1{,}25\) кг/м\(^3\), гелия — \(\rho_4 = 0{,}18\) кг/м\(^3\), массой оболочки шарика можно пренебречь. Считайте, что масса капель воды, образовавшихся при таянии льда и упавших в кастрюлю после отрыва льда от поверхности воды, пренебрежимо мала. Некоторые числовые данные не являются необходимыми для решения, но их можно использовать, если так вам будет проще.

Внутри плавающего стакана лежит гвоздь. Объём погруженной части стакана в воду равен \(V_1 = 388\) мл. Когда гвоздь вынули из стакана и опустили в воду, предварительно привязав его ниткой к дну стакана, то он повис, не касаясь дна. Объём погруженной части стакана в воду равен \(V_2 = 372\) мл. Затем нить перерезали. Объём погруженной части стакана в воду уменьшился до \(V_3 = 220\) мл. Во сколько раз плотность гвоздя больше плотности воды?

Верхний, пресный слой воды в озере имеет толщину 50 см. Плотность пресной воды 1000 кг/м\(^3\). Глубинные воды озера имеют плотность 1200 кг/м\(^3\), потому что содержат в своем составе большее количество соли. В озеро опустили однородное тело в форме куба с длиной ребра 1 м. Плотность тела равна 1050 кг/м\(^3\). Найдите высоту, на которую верхняя грань куба выступает над поверхностью пресной воды. Площадь озера считайте очень большой. Ответ укажите в см и округлите до десятых.

В открытый сверху цилиндрический сосуд помещают меньший по размеру цилиндрический стакан массой 150 г. Сосуд наполняют водой до краёв так, что стакан остаётся плавать в воде. После этого начинают аккуратно переносить воду из сосуда в стакан. Площадь основания сосуда 100 см\(^2\), высота сосуда 15 см, сечение стакана 20 см\(^2\), высота стакана 10 см. Толщиной стенок сосуда и стакана можно пренебречь. Плотность воды равна 1000 кг/м\(^3\).

1. Какой объём воды можно перенести из сосуда в стакан, чтобы он ещё плавал в воде? Ответ укажите в см\(^3\) и округлите до целых.

2. Насколько изменится уровень воды в сосуде? Ответ укажите в см и округлите до целых.

Тонкостенный герметичный куб массой 1 кг плавает на поверхности воды. Длина ребра куба равна 50 см. При каком минимальном давлении воздуха внутри куба он не утонет, получив пробоину в дне? Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с\(^2\). Атмосферное давление равно 1 атм. Плотность воды равна 1 г/см\(^3\). Ответ выразите в кПа, округлите до десятых.

Специальная тонкостенная стеклянная мензурка с толстым массивным дном (объём стенок мензурки пренебрежимо мал по сравнению с объёмом дна) плавает в воде. На боковую поверхность мензурки нанесена мерная шкала, состоящая из делений, расположенных на равном расстоянии друг от друга, подписей к делениям нет. Нулевое деление находится на уровне верхнего края дна мензурки. Толщине дна соответствуют два деления шкалы (определили «на глаз»). Неизвестную жидкость наливают в мензурку до двенадцатого деления по шкале и аккуратно погружают мензурку с жидкостью в воду. Мензурка плавает, при этом уровень неизвестной жидкости оказывается вровень с уровнем воды (на рисунке слева). Если теперь в мензурку долить такой же объём жидкости, что и в первом случае, то мензурка не утонет, а уровень неизвестной жидкости окажется на три деления выше уровня воды (на рисунке справа). Полагая, что плотность воды и ускорение свободного падения равны \(\rho = 1{,}0\) г/см\(^3\) и \(g = 10\) м/с\(^2\), определите следующие величины.

1. Плотность неизвестной жидкости.

2. Плотность стекла, из которого изготовлена мензурка.

Специальная тонкостенная стеклянная мензурка с толстым массивным дном (объём стенок мензурки пренебрежимо мал по сравнению с объёмом дна) плавает в воде. На боковую поверхность мензурки нанесена мерная шкала, состоящая из делений, расположенных на равном расстоянии друг от друга, подписей к делениям нет. Нулевое деление находится на уровне верхнего края дна мензурки. Толщине дна соответствуют два деления шкалы (определили «на глаз»). Неизвестную жидкость наливают в мензурку до двенадцатого деления по шкале и аккуратно погружают мензурку с жидкостью в воду. Мензурка плавает, при этом уровень неизвестной жидкости оказывается вровень с уровнем воды (на рисунке слева). Если теперь в мензурку долить такой же объём жидкости, что и в первом случае, то мензурка не утонет, а уровень неизвестной жидкости окажется на три деления выше уровня воды (на рисунке справа). Полагая, что плотность воды и ускорение свободного падения равны \(\rho = 1{,}0\text{ г/см}^3\) и \(g = 10\text{ м/с}^2\), определите следующие величины.

1. Плотность неизвестной жидкости.

2. Плотность стекла, из которого изготовлена мензурка.

Грузовая марка (Plimsoll line) — это отметка на борту торгового судна, показывающая, до какого уровня судно может погружаться в различные воды при максимальной загрузке. На рисунке приведён пример грузовой марки некоторого судна и обозначены расстояния между отметками марки. Верхняя линия TF указывает предельную осадку нагруженного судна в пресной воде в тропиках, плотность которой равна 994 кг/м\(^3\). Ниже расположена линия F, соответствующая осадке в пресной воде в умеренных широтах (плотность равна 998 кг/м\(^3\)). Площадь сечения корпуса судна на уровне воды вблизи марки можно считать постоянной.

1. Какова плотность зимней морской воды, которой соответствует линия W на грузовой марке?

2. Используя данные задачи, найдите разность температур пресной воды в тропиках и умеренных широтах, если коэффициент теплового расширения воды равен \(3 \cdot 10^{-4}\) 1/\(^\circ\)C. Коэффициент теплового расширения равен относительному увеличению объёма тела при изменении его температуры на один градус.

В бутылку с достаточно толстыми стенками вместимостью \(V = 700\) мл наливают некоторое количество воды. Прикрыв горлышко пальцем, бутылку переворачивают вверх дном, погружают в ведро с водой и убирают руку. Бутылка плавает, сохраняя вертикальное положение. Над поверхностью воды выступает часть бутылки объёмом \(\Delta V = 15\) мл. Ведро с бутылкой выносят из комнаты, температура воздуха в которой равна \(t_0 = 25\,{}^\circ\text{C}\), на мороз. Можно считать, что в процессе охлаждения воздух, находящийся внутри бутылки, сжимается, и его объём изменяется по закону \(V = V_0\,(1 + \alpha(t - t_0))\), где \(V_0\) — объём воздуха при температуре \(t_0\), \(\alpha\) — коэффициент, равный \(3{,}6 \cdot 10^{-3}\) 1/\({}^\circ\)C. Найдите температуру воздуха внутри бутылки в тот момент, когда бутылка полностью погрузится в воду. Масса бутылки равна 300 г, плотность материала, из которого она изготовлена, \(\rho = 2600\) кг/м\(^3\), плотность воды \(\rho_0 = 1000\) кг/м\(^3\).

Алюминиевая гайка массой 60 г привязана к шарику, заполненному гелием, с помощью тонкой лёгкой нитки. Объём шарика таков, что гайка с шариком остаются неподвижными в воздухе, не касаясь земли.

Гайку охлаждают до очень низкой температуры и погружают в цилиндрический сосуд с водой, удерживая её ниже уровня жидкости. Когда процесс намерзания льда прекращается, образуется кусок льда с вмороженной в него гайкой, соединённый тонкой ниткой с гелиевым шариком. После этого удержание гайки прекращают, и в состоянии равновесия кусок льда с гайкой, привязанный к шарику, плавает, погрузившись в воду на \(\dfrac45\) объёма.

Плотности веществ: вода "— 1000 кг/м\(^3\), лёд "— 900 кг/м\(^3\), воздух "— \(1{,}25\) кг/м\(^3\), гелий "— \(0{,}18\) кг/м\(^3\), алюминий "— 2700 кг/м\(^3\). Площадь сечения сосуда равна 40 см\(^2\).

Не все из приведённых данных необходимы для решения задачи, однако их можно использовать, если вы считаете, что это будет полезно.

1. (2 балла) Определите по этим данным массу намёрзшего на гайку льда. Ответ дайте в граммах, округлите до целого.

2. (3 балла) На сколько миллиметров изменится уровень воды в сосуде после таяния льда (относительно уровня воды в положении равновесия, устанавливающегося после окончания удерживания гайки)? Считайте, что вся вода, образующаяся при таянии, остаётся в сосуде. Ответ дайте в миллиметрах (без учёта знака), округлите до целого.

Цилиндрический сосуд с нанесённой на боковую поверхность мерной шкалой частично заполнен водой, в которой плавает выпуклая пластиковая игрушка. В сосуд начинают добавлять масло, которое течёт тонкой струйкой с постоянной скоростью \(\mu\), измеряемой в мл/с.

Каждую минуту с помощью мерной шкалы определяют два значения объёма, соответствующие положению уровня поверхности воды и масла. Результаты измерений показаны на графике, представленном ниже. В процессе эксперимента жидкости не смешиваются.

Маркеры одной формы (кружки или крестики) соответствуют одной из жидкостей. Плотность воды равна \(1\text{ г/см}^3\), плотность масла меньше плотности воды.

1. (2 балла) Чему равна скорость \(\mu\)?

2. (6 баллов) Определите плотность масла.

При смешивании карбоната натрия (соды) массой \(m_1\) и пресной воды массой \(m_2\) получается солевой раствор. Если процентное содержание соды в растворе, равное \(\alpha = \dfrac{m_1}{m_1+m_2}\), принимает значения от 1% до 14%, то плотность раствора карбоната натрия можно рассчитать, воспользовавшись приближенной формулой \[\rho = \rho_0\,(1 + \alpha)\,,\] где \(\rho_0\) плотность пресной воды, равная \(1{,}0\) г/см\(^3\). В цилиндрическом сосуде находится водный раствор карбоната натрия плотностью \(1{,}12\) г/см\(^3\), уровень которого расположен на высоте \(15{,}0\) см от дна сосуда. В раствор добавляют некоторое количество льда, при этом уровень жидкости в сосуде поднялся на \(5{,}0\) см. Когда лёд растаял, жидкость перемешали, и процентное содержание карбоната натрия в растворе уменьшилось. Найдите плотность получившегося раствора. На какой высоте расположен уровень раствора в сосуде?

Деревянный брусок плотностью \(\rho = 500\) кг/м\(^3\) в форме прямоугольного параллелепипеда имеет длину \(L = 1\) м и квадратное поперечное сечение со стороной \(a = 10\) см. Брусок опустили в воду большого озера и удерживали его в таком неустойчивом положении равновесия, что одна из длинных граней бруска была сухой и горизонтальной, при этом половина объёма бруска была погружена в воду. Брусок отпустили, и он принял устойчивое положение, повернувшись вокруг своей оси симметрии на угол \(45^\circ\). На сколько в результате этого уменьшилась потенциальная энергия системы «вода + брусок»? Плотность воды равна \(2\rho\).

Студент-биофизик исследует физические основы плавания дельфинов. Он рассматривает следующую простую модель.

Объём дельфина складывается из объёма тканей тела \(V_\text{т}\), несжимаемых при погружении, и объёма различных газовых полостей \(V_\text{г}\) (например, лёгких), который при погружении уменьшается под действием давления воды. Студент считает, что согласно газовым законам, произведение давления \(P(h)\) на глубине \(h\) на объём \(V_\text{г}(h)\) должно оставаться постоянным на всех глубинах: \[P(h)V_\text{г}(h) = \text{const}.\] Пусть дельфин движется вертикально вниз с характерной для себя скоростью \(v\). Расчёты студента показывают, что по достижении нижней критической глубины \(h_\text{н} = 30\) м дельфин может продолжать движение вниз, не совершая никаких усилий. Иначе говоря, не создавая силы тяги. При движении вертикально вверх с той же скоростью \(v\), достигнув верхней критической глубины \(h_\text{в} = 10\) м, дельфин продолжит всплывать, не создавая силы тяги. Атмосферное давление равно \(P_0 = 10^5\) Па, плотность воды и ускорение свободного падения равны: \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\) и \(g = 10\) Н/кг. Плотность тканей тела отличается от плотности воды на 2 %. Зависимость силы сопротивления воды от скорости неизвестна.

1. Определите отношение объёма тканей тела к объёму полостей при нулевой глубине \(\dfrac{V_\text{т}}{V_\text{г}(0)}\). Можно считать, что при нулевой глубине газовые полости заполнены воздухом при атмосферном давлении \(P_0\).

2. Экспериментально наблюдаются значения критических глубин: \(h_\text{н} \approx 67\) м и \(h_\text{в} \approx 6\) м. Чем может быть обусловлено расхождение предсказаний модели студента и экспериментальных данных?

Есть два цилиндрических геометрически подобных сосуда, изготовленных из одного и того же материала, плотность которого больше плотности воды. Сосуды тонкостенные, но с массивным дном. Их линейные размеры относятся как \(2:1\). Больший сосуд стоит на горизонтальном столе и заполнен водой; в нём плавает (естественно, не касаясь дна) меньший сосуд, также заполненный водой. Известно, что объём воды в каждом сосуде составляет одну и ту же долю его внутреннего объёма. Толщина дна каждого сосуда равна \(\dfrac{1}{k}\) его высоты, где \(k>1\). Плотность воды равна \(1000\text{ кг/м}^3\).

1. Пусть \(k=4\). Определите диапазон возможных значений плотности \(\rho\) материала сосудов.

2. При каких значениях \(k\) не существует ответа на вопрос предыдущего пункта?

3. Предположим, что число сосудов увеличилось до \(N\). \(N\)-й сосуд стоит на столе и заполнен водой; в нём плавает \((N-1)\)-й сосуд, в нём — \((N-2)\)-й и так далее. Линейные размеры сосудов относятся как \(N:(N-1):(N-2):\dots:2:1\). Объём воды в каждом сосуде составляет одну и ту же долю его внутреннего объёма.

   Утверждается, что при заданном значении \(k\) (\(k>2\)) и некотором значении \(\rho\) (\(\rho>\rho_0\)) такая система сосудов может существовать в равновесии (возможно, неустойчивом) для любого \(N\geqslant3\).

   Верно ли это утверждение?

На дне сосуда с плоским горизонтальным дном лежит длинный однородный брусок, поперечное сечение которого представляет собой прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b = a\sqrt{7}/3\) (см. рис.). В сосуд медленно наливают воду.

При какой высоте \(H\) уровня воды в сосуде брусок перестанет касаться дна? Плотность материала бруска равна 50% от плотности воды. Длина бруска много больше \(a\). Из-за шероховатости поверхностей бруска и дна сосуда вода свободно подтекает между ними.

Объём полого медного шара 200 см\(^3\). Если шар поместить в сосуд, наполненный до краев жидкостью, то из сосуда вытечет 178 г воды. Найдите объём полости, если плотность меди равна 8,9 г/см\(^3\). Ответ выразите в см\(^3\), округлите до целого числа.

Два шарика равной массы сделаны из одного и того же металла. Один из них сплошной, а другой имеет полость. Если в наполненный до краёв сосуд с водой осторожно положить плавать шарик с полостью, то через край сосуда выльется 20 см\(^3\) воды, если же в сосуд погрузить сплошной шарик, то из сосуда вытечет 5 см\(^3\) воды. Плотность воды равна 1 г/см\(^3\). Ускорение свободного падения считать равным 10 Н/кг.

1. Чему равна сила Архимеда, действующая на полый шарик? Ответ выразите в мН, округлите до целого числа.

2. Найдите плотность металла, из которого сделаны шарики. Ответ выразите в г/см\(^3\), округлите до целого числа.

В кусок пористого льда вморожен деревянный шарик. Объём льда (с учётом пор, заполненных воздухом) равен объёму шарика. К шарику присоединена тонкая, невесомая нитка. Лёд с шариком погружают в цилиндрический сосуд с водой, нитку закрепляют на дне сосуда, так что лёд оказывается погружён в воду полностью. Можно считать, что поры льда остаются заполненными воздухом. Уровень воды в сосуде после погружения куска льда с шариком возрастает на \(h_0 = 12\) см. После таяния льда деревянный шарик остаётся полностью погружён в воду, а уровень воды в сосуде понижается на \(\Delta h = 3\) см. Считайте, что ускорение свободного падения равно 10 м/с\(^2\).

1. (5 баллов) Определите отношение \(n = \dfrac{V_\text{п}}{V}\), где \(V_\text{п}\) "— объём пор, \(V\) "— объём пористого льда (суммарный объём льда и пор). Плотности дерева, льда и воды равны соответственно 500 кг/м\(^3\), 900 кг/м\(^3\) и 1000 кг/м\(^3\). В ответе на вопрос укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.

2. (3 балла) Если масса деревянного шарика равна 100 г, то чему равна сила натяжения нити до начала таяния льда? Ответ дайте в ньютонах, округлите до целого.

В кусок пористого льда вморожен деревянный шарик. Объём льда (с учётом пор, заполненных воздухом) равен объёму шарика. К шарику присоединена тонкая, невесомая нитка. Лёд с шариком погружают в цилиндрический сосуд с водой, нитку закрепляют на дне сосуда, так что лёд оказывается погружён в воду полностью. Можно считать, что поры льда остаются заполненными воздухом. Уровень воды в сосуде после погружения куска льда с шариком возрастает на \(h_0 = 12\) см. После таяния льда деревянный шарик остаётся полностью погружён в воду, а уровень воды в сосуде понижается на \(\Delta h = 3\) см. Считайте, что ускорение свободного падения равно 10 м/c\(^2\).

1. (5 баллов) Определите отношение \(n = V_{\text{п}}/V\), где \(V_{\text{п}}\) — объём пор, \(V\) — объём пористого льда (суммарный объём льда и пор). Плотности дерева, льда и воды равны соответственно 500 кг/м\(^3\), 900 кг/м\(^3\) и 1000 кг/м\(^3\). В ответе на вопрос укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.

2. (2 балла) Если масса деревянного шарика равна 100 г, то чему равна сила натяжения нити до начала таяния льда? Ответ дайте в ньютонах, округлите до целого.