Дробинка во льду

Кусок «лёд + дробинка» тонет, когда его средняя плотность становится равной плотности воды. Как меняется эта плотность, пока лёд тает, и сколько тепла уходит на плавление?

\(Q=\lambda\left(M-\dfrac{\rho_{\text{л}}(\rho_{\text{св}}-\rho_{\text{в}})}{\rho_{\text{св}}(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}})}\,m\right)\approx 80\text{ кал/г}\cdot(M-8{,}2\,m)\).

Что происходит. Вода и лёд при \(0^\circ\) С находятся в тепловом равновесии, поэтому лёд тает только за счёт подведённого тепла, и всё это тепло идёт на плавление: дробинка и вода остаются при \(0^\circ\) С. Тая, лёд теряет массу, а свинец остаётся, и средняя плотность куска растёт. Дробинка начнёт тонуть, когда она вместе с оставшимся льдом станет в среднем такой же плотной, как вода: сила Архимеда сравняется с весом куска.

Обозначения. \(\rho_{\text{в}}=1\text{ г/см}^3\), \(\rho_{\text{л}}=0{,}9\text{ г/см}^3\), \(\rho_{\text{св}}=11{,}3\text{ г/см}^3\), \(\lambda=80\text{ кал/г}\). \(x\) — масса льда, которую нужно растопить; \(M-x\) — масса оставшегося льда.

1. Условие начала погружения. Кусок, целиком погружённый в воду, висит в равновесии, когда сила Архимеда равна его весу. Масса куска \(M-x+m\), его объём \(V=\dfrac{M-x}{\rho_{\text{л}}}+\dfrac{m}{\rho_{\text{св}}}\) (объёмы льда и свинца складываются: дробинка вмёрзла, пустот нет). Сила Архимеда равна \(\rho_{\text{в}}gV\), поэтому \[M-x+m=\rho_{\text{в}}\left(\frac{M-x}{\rho_{\text{л}}}+\frac{m}{\rho_{\text{св}}}\right).\] При большей массе льда средняя плотность меньше \(\rho_{\text{в}}\) и кусок плавает, при меньшей — тонет.

2. Масса оставшегося льда. Соберём \(M-x\) в одной части: \[(M-x)\left(\frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{л}}}-1\right)=m\left(1-\frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{св}}}\right) \quad\Rightarrow\quad M-x=m\,\frac{\rho_{\text{л}}(\rho_{\text{св}}-\rho_{\text{в}})}{\rho_{\text{св}}(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}})}.\] Подставим числа: \(M-x=m\cdot\dfrac{0{,}9\cdot10{,}3}{11{,}3\cdot0{,}1}\approx8{,}2\,m\).

3. Тепло. Нужно растопить \(x=M-8{,}2\,m\) льда, и \(Q=\lambda x\).

Обратите внимание: по условию кусок плавает, значит, \(M>8{,}2\,m\) — иначе при \(x=0\) он уже тонул бы. Объём воды, получившейся из льда, и герметичность сосуда на ответ не влияют: сосуд закрыт, чтобы вода не испарялась и не обменивалась теплом с окружающим воздухом.

Ответ. \(Q=\lambda\,(M-8{,}2\,m)=80\text{ кал/г}\cdot(M-8{,}2\,m)\), где \(M\) и \(m\) — в граммах.

Проверка. Размерность: \(\lambda x\) — калории. Второй способ: при \(M-x=8{,}2\,m\) объём куска \(V=\dfrac{8{,}2\,m}{0{,}9}+\dfrac{m}{11{,}3}\approx9{,}2\,m\) (в \(\text{см}^3\), \(m\) в граммах), масса \(9{,}2\,m\), плотность \(1{,}00\text{ г/см}^3\). График средней плотности для \(M=12\,m\) растёт с \(x\) и достигает \(1\) при \(x\approx3{,}8\,m\). Предел: чем тяжелее дробинка, тем больше льда придётся растопить; при \(m\to0\) нужно растопить почти весь лёд, \(Q\to\lambda M\), как и должно быть.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.