Вираж: конькобежец и велосипедист

Пройти вираж быстрее — значит иметь меньшее отношение длины дуги к скорости. От чего зависит наибольшая скорость на дуге радиуса \(r\) на плоской дорожке и на наклонной?

На плоской дорожке наибольшая скорость \(v=\sqrt{\mu gr}\), время дуги растёт как \(\sqrt r\), поэтому выгоден наименьший радиус. На треке \(v=\sqrt{gr\,\mathrm{tg}(\alpha+\varphi)}\), где \(\mathrm{tg}\,\varphi=\mu\), и по мере подъёма по склону наклон \(\alpha\) растёт быстрее, чем \(r\): путь длиннее, но скорость выросла сильнее, время меньше.

Что происходит. Вираж — дуга окружности. Спортсмену нужно пройти её за наименьшее время \(t=\dfrac{\theta r}{v}\), где \(\theta\) — угол поворота дуги, \(r\) — радиус траектории, \(v\) — скорость. Идти ближе к бровке — уменьшить \(r\), то есть путь. Но наибольшая скорость, при которой спортсмен ещё не срывается, сама зависит от \(r\) и от наклона дорожки. Всё дело в том, что выигрывает: путь или скорость.

Обозначения. \(\mu\) — коэффициент трения лезвий или шин о дорожку, \(\mathrm{tg}\,\varphi=\mu\); \(\alpha\) — угол наклона дорожки к горизонту в том месте, где идёт спортсмен; \(x\) — расстояние от внутренней бровки до траектории, \(r=r_0+x\) (\(r_0\) — радиус внутренней бровки).

1. Конькобежец, плоский лёд. Горизонтальная сила здесь одна — трение: \(F_{\text{тр}}\le\mu N\), а \(N=mg\). По второму закону Ньютона в проекции на радиальное направление (к центру дуги) \(m\dfrac{v^2}{r}=F_{\text{тр}}\le\mu mg\), откуда \[v_{\max}=\sqrt{\mu g r},\qquad t=\frac{\theta r}{v_{\max}}=\theta\sqrt{\frac{r}{\mu g}} .\] Время растёт с радиусом: выгодно идти по внутренней дуге, у бровки.

2. Велосипедист, наклонный трек. На велосипедиста действуют сила тяжести \(m\vec g\), сила реакции \(\vec N\) (перпендикулярно покрытию) и сила трения \(\vec F_{\text{тр}}\) вдоль склона. При наибольшей скорости шины вот-вот скользнут вверх по склону, наружу, и трение направлено вниз по склону, с предельным значением \(F_{\text{тр}}=\mu N\). Ускорение направлено горизонтально к центру. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикаль и на горизонтальное радиальное направление: \[N\cos\alpha-\mu N\sin\alpha=mg,\qquad N\sin\alpha+\mu N\cos\alpha=m\frac{v^2}{r}.\]

Разделим второе уравнение на первое и вспомним \(\mu=\mathrm{tg}\,\varphi\): \[\frac{v^2}{gr}=\frac{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}{\cos\alpha-\mu\sin\alpha}=\mathrm{tg}(\alpha+\varphi) \quad\Rightarrow\quad v_{\max}=\sqrt{gr\,\mathrm{tg}(\alpha+\varphi)} .\] Время дуги \[t=\frac{\theta r}{v_{\max}}=\theta\sqrt{\frac{r}{g\,\mathrm{tg}(\alpha+\varphi)}} .\]

3. Что даёт профиль. Чем выше по склону, тем больше \(r\) (путь длиннее, число \(r\) растёт медленно), но и тем круче \(\alpha\) (число \(\mathrm{tg}(\alpha+\varphi)\) растёт быстро): профиль на рисунке выгнут так, что у бровки трек почти плоский, а у внешнего края крутой. Время дуги уменьшается с ростом \(x\), пока \(\dfrac{d\ln\mathrm{tg}(\alpha+\varphi)}{dr}>\dfrac{d\ln r}{dr}\), то есть \[\frac{2\,\alpha'(r)}{\sin 2(\alpha+\varphi)}>\frac1r .\] Покажем это на примере. Пусть \(r_0=25\text{ м}\), ширина трека \(6\text{ м}\), профиль \(\mathrm{tg}\,\alpha=0{,}18+0{,}075\,x\) (\(x\) в метрах, как на рисунке: полого у бровки, круто у борта), \(\mu=0{,}3\) (\(\varphi\approx16{,}7^\circ\)).

Критерий выполнен всюду: правая часть \(1/r\approx0{,}04\) или меньше, левая \(\ge0{,}11\). Радиус вырос на \(24\,\%\) (путь длиннее), а скорость — в \(1{,}7\) раза: время дуги уменьшилось с \(7{,}0\) до \(5{,}2\) с. Конькобежец на плоском льду при том же \(\mu\) проходит полуокружность за \(9{,}2\) с у бровки и за \(10{,}2\) с на радиусе \(31\text{ м}\): для него дальше от бровки только хуже.

Обратите внимание: выигрыш даёт не сам наклон, а то, что он растёт к внешнему краю. При постоянном \(\alpha\) получилось бы \(t\propto\sqrt r\), как у конькобежца, и велосипедисту тоже было бы выгодно идти по внутренней дуге. А на ровном льду «подняться выше» нечем: скорость ограничена только трением, и оно не растёт с удалением от бровки.

Ответ. Конькобежцу на плоском льду выгодно идти у бровки, потому что его наибольшая скорость \(\sqrt{\mu gr}\) растёт медленнее, чем длина пути. Велосипедист на треке, наклон которого растёт к внешнему краю, поднимается выше: проигрывает в длине пути (\(r\) растёт), но выигрывает в скорости (\(v=\sqrt{gr\,\mathrm{tg}(\alpha+\varphi)}\) растёт быстрее) и проходит вираж за меньшее время.

Проверка. Размерность: \(gr\,\mathrm{tg}(\ldots)\) — \(\text{м}^2/\text{с}^2\). Предел \(\alpha=0\) даёт \(v=\sqrt{\mu gr}\), как у конькобежца. Предел \(\mu\to0\) даёт \(v=\sqrt{gr\,\mathrm{tg}\,\alpha}\) — классическую скорость на виражном шоссе, когда одной реакции опоры хватает без трения. Смысл: на наклонном треке реакция опоры сама создаёт часть центростремительной силы, и это не зависит от «запаса трения».

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.