Невесомость на мостике
2/10Мотоциклист въезжает на горбатый мостик радиусом 90 м (центр кривизны находится под мостиком). С какой минимальной скоростью должен двигаться мотоциклист, чтобы при движении по мостику испытать состояние невесомости? Ответ выразите в м/с и округлите до целых. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНевесомость в верхней точке — сила реакции опоры равна нулю, значит, центростремительное ускорение создаёт одна сила тяжести.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ30
Невесомость на мостике
2/10Мотоциклист въезжает на горбатый мостик радиусом 40 м (центр кривизны находится под мостиком). С какой минимальной скоростью должен двигаться мотоциклист, чтобы при движении по мостику испытать состояние невесомости? Ответ выразите в м/с и округлите до целых. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ верхней точке мостика ускорение направлено к центру кривизны; невесомость – нулевая сила реакции опоры.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ20 м/с
Конический маятник
3/10Груз, подвешенный на нити, совершает круговое движение в горизонтальной плоскости. За какое время этот маятник совершает полный оборот? Длина нити составляет 2 м, а груз движется по окружности радиуса 1{,}2 м. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с\(^2\). Ответ представьте в секундах и округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКакие силы действуют на груз? Горизонтальная составляющая силы натяжения нити создаёт центростремительное ускорение.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ2{,}5 с
Шарик по окружности на нити
3/10Металлический шарик подвешен к потолку на нерастяжимой нити. Шарик вращается по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости, с постоянной по модулю скоростью \(v_1 = 2{,}5\) м/с, так что нить всегда составляет угол \(\alpha = 30^\circ\) с вертикалью. Затем скорость шарика увеличили, и нить стала составлять угол \(\beta = 45^\circ\) с вертикалью. Найдите модуль \(v_2\) новой скорости шарика.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗапишите второй закон Ньютона для шарика по вертикали и по радиусу окружности, исключите силу натяжения и выразите \(v^2\) через длину нити и угол.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(v_2 = v_1\sqrt{\dfrac{\sin\beta\,\operatorname{tg}\beta}{\sin\alpha\,\operatorname{tg}\alpha}} \approx 3{,}9\text{ м/с}\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеЗапишем 2-й закон Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси соответственно: \[T\cos\alpha = mg, \qquad T\sin\alpha = m\,\frac{v_1^2}{l\sin\alpha},\] где \(l\) "— длина нити. Отсюда получаем: \[v_1^2 = gl\sin\alpha\operatorname{tg}\alpha.\] Следовательно, \[\frac{v_2^2}{v_1^2} = \frac{\sin\beta\operatorname{tg}\beta}{\sin\alpha\operatorname{tg}\alpha} \quad\Rightarrow\quad v_2 = v_1\sqrt{\frac{\sin\beta\operatorname{tg}\beta}{\sin\alpha\operatorname{tg}\alpha}} \approx 3{,}9\text{ м/с}.\]
Вагонетка с грузом на вогнутом мосту
5/10По вогнутому мосту, образующему дугу окружности радиусом \(R\), движется вагонетка массой \(M\). К вагонетке привязан трос длиной \(L\), на конце которого закреплён груз массой \(m\) (см. рисунок). В момент, когда вагонетка проходила нижнюю точку моста, трос был расположен вертикально, а скорости вагонетки и груза были равны \(v_1\) и \(v_2\) соответственно. Найдите в этот момент силу натяжения троса \(T\) и силу \(N\), с которой вагонетка давит на рельсы. Трос невесом и нерастяжим, трение не учитывать, размерами вагонетки и груза пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаГруз движется относительно вагонетки по окружности радиуса \(L\) со скоростью \(v_2 - v_1\); в системе вагонетки (неинерциальной) к нему добавляется сила инерции.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(T = m\left(g + \dfrac{v_1^2}{R} + \dfrac{(v_1 - v_2)^2}{L}\right)\); \(N = (m+M)\left(g + \dfrac{v_1^2}{R}\right) + m\dfrac{(v_1 - v_2)^2}{L}\).
Ходьба на Земле и на Марсе
5/10В простейшей физической модели пешей ходьбы считается, что центр масс человека движется по периодической кривой, повторяющийся участок которой представляет собой дугу окружности с радиусом, равным длине ноги человека \(H\). Определите в рамках этой модели отношение максимальных скоростей ходьбы на Земле и на Марсе, а также отношение мощностей, затрачиваемых при ходьбе с максимально возможной скоростью на этих планетах. Масса Марса составляет 0,11 массы Земли, радиус Марса равен 0,53 радиуса Земли. По поверхности Марса человек перемещается в скафандре, масса которого составляет примерно треть массы человека. Траектории центра масс человека на Земле и человека в скафандре на Марсе считайте одинаковыми. Учтите, что при ходьбе необходим постоянный контакт хотя бы одной ноги с поверхностью планеты.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ верхней точке дуги нужна центростремительная сила, а её создаёт только сила тяжести, и опора не должна пропасть. Отсюда ограничение на скорость; мощность же идёт на подъём центра масс на каждом шаге.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\dfrac{u_{\text{З.max}}}{u_{\text{М.max}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{З}}}{g_{\text{М}}}} \approx 1{,}6\); 2) \(\dfrac{P_{\text{З.max}}}{P_{\text{М.max}}} = \dfrac34\cdot\left(\dfrac{g_{\text{З}}}{g_{\text{М}}}\right)^{3/2} \approx 3{,}1\).
Цепочка на нитях
6/10Металлическая цепочка массой 0,5 кг замкнута в кольцо. К каждому из звеньев цепочки привязан отрезок тонкой легкой нерастяжимой нити одинаковой длины 40 см, и концы этих отрезков соединены в одной точке. Систему вращают с угловой скоростью 8 рад/с, при этом цепочка имеет форму окружности радиусом 10 см, и ось вращения совпадает с осью конуса, образованного цепочкой и нитями. Ускорение свободного падения при расчетах примите равным 10 м/с\(^2\).
Найдите силу натяжения цепочки. Ответ выразите в Н, округлите до десятых.
При какой минимальной угловой скорости такое движение возможно? Ответ выразите в рад/с, округлите до целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРассмотрите малый элемент цепочки: на него действуют сила тяжести, натяжение нити и две силы натяжения цепочки, равнодействующая которых направлена к оси.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) 0{,}3 Н; 2) 5 рад/с.
По окружности и побыстрее
7/10Автомобилист проезжает полуокружность \(AB\) радиусом \(R = 80\) м так, чтобы, стартовав из положения покоя, добраться до ее конца как можно быстрее. Поверхность дороги горизонтальна, автомобиль — небольшой по размеру, с мощным двигателем и четырьмя ведущими колесами. Общий коэффициент трения всех колес о дорогу считать постоянным и равным \(\mu = 0{,}5\). Ускорение свободного падения примите равным \(g \approx 10\text{ м/с}^2\).
До какой максимальной скорости может разогнаться автомобиль на этой дороге?
Определите скорость автомобиля при прохождении точек \(C\), \(D\) и \(B\) во время заезда (см. рисунок).
Найдите общее время прохождения полуокружности \(AB\).
Указание: считайте известной константой \(\beta \equiv \displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}} \approx 1{,}311\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСила трения по модулю не больше \(\mu mg\), но её направление можно выбирать. Разложите её на касательную и нормальную составляющие и найдите, как угол между силой и скоростью связан с пройденным путём.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v_m = \sqrt{\mu gR} = 20\text{ м/с}\); 2) \(v_C = v_D = v_B = v_m = 20\text{ м/с}\); 3) \(T = \left(\beta + \dfrac{3\pi}{4}\right)\sqrt{\dfrac{R}{\mu g}} \approx 14{,}7\text{ с}\).
▶РешениеСкрыть: решение
Решение
В рамках предположений условия максимальная величина силы трения колес о поверхность дороги равна \(|\vec F_\text{тр}| = \mu N = \mu mg\), где \(m\) — масса автомобиля, и при этом ее можно направить в любом направлении в горизонтальной плоскости дороги. Так как другие горизонтальные силы на автомобиль не действуют, то именно сила трения и разгоняет автомобиль, и удерживает его на нужной траектории.
Пусть \(\alpha\) — угол между скоростью автомобиля и направлением силы трения в некоторый момент времени (см. рисунок). Тогда уравнения для касательной и центростремительной компонент ускорения автомобиля имеют вид \[\left\{\begin{aligned} ma_\tau &= m\frac{dv}{dt} = \mu mg\cos\alpha\\ ma_n &= m\frac{v^2}{R} = \mu mg\sin\alpha \end{aligned}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{aligned} \frac{dv}{dt} &= \mu g\cos\alpha\\ v^2 &= \mu gR\sin\alpha \end{aligned}\right. . \tag{1}\] Видно, что разгон автомобиля завершается (\(dv/dt = 0\)) и скорость достигает максимального возможного значения \(v_m = \sqrt{\mu gR} = 20\) м/с при \(\alpha = 90^\circ\). Далее угол \(\alpha\) и скорость автомобиля поддерживаются постоянными.
Ответ на второй вопрос можно получить несколькими способами. Уравнение для касательной компоненты ускорения можно преобразовать следующим образом: \[\frac{v\cdot dv}{v\cdot dt} = \frac12\,\frac{d(v^2)}{ds} = \mu g\cos\alpha \;\Rightarrow\; \frac{d(v^2)}{ds} = 2\mu g\cos\alpha. \tag{2}\] Здесь \(s\) — путь, пройденный автомобилем от момента старта. Далее можно действовать как минимум тремя путями.
Способ 1. Подставив в (2) квадрат скорости из второго уравнения (1), находим, что \[\mu gR\,\frac{d(\sin\alpha)}{ds} = \mu gR\cos\alpha\,\frac{d\alpha}{ds} = 2\mu g\cos\alpha \;\Rightarrow\; d\alpha = \frac{2}{R}\,ds.\] На старте \(s = 0\) и \(\alpha = 0\), то есть после суммирования приращений в этом соотношении от старта до любого момента времени в процессе разгона получаем связь угла \(\alpha\) с пройденным автомобилем расстоянием \(\alpha(s) = 2s/R\). Значит, разгон завершится в момент времени, когда \(\alpha = \pi/2 \Rightarrow s = \pi R/4\), то есть точно в точке \(C\).
Способ 2. Выразив \(\sin\alpha = v^2/\mu gR = (v/v_m)^2\) и подставив это соотношение в уравнение (2), приводим его к виду \[\frac{d(v^2)}{ds} = 2\mu g\cdot\sqrt{1 - \left(\frac{v}{v_m}\right)^4}.\] Введем новую переменную \(y \equiv (v/v_m)^2\) и получим уравнение \[\frac{dy}{ds} = \frac{2}{R}\sqrt{1-y^2} \;\Rightarrow\; \frac{2}{R}\,ds = \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}.\] Интегрируя его по любому участку пути на дуге \(AC\), находим, что \[\frac{2}{R}\,s = \int_0^{(v/v_m)^2} \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = \arcsin\left(\frac{v^2}{v_m^2}\right) \;\Rightarrow\; v^2(s) = v_m^2\cdot\sin\left(\frac{2s}{R}\right).\] Как видно, скорость достигает максимума при \(s = \pi R/4\), то есть точно в точке \(C\).
Способ 3. Составив систему из второго уравнения в (1) и (2), можно получить из нее уравнение для зависимости \(v^2(s)\) на участке \(AC\): \[\left\{\begin{aligned} \frac{d(v^2)}{ds} &= 2\mu g\cos\alpha\\ v^2 &= \mu gR\sin\alpha \end{aligned}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{aligned} \frac{d(v^2)}{ds} &= 2\mu g\cos\alpha\\ \frac{d(v^2)}{ds} &= \mu gR\cos\alpha\,\frac{d\alpha}{ds} \end{aligned}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{aligned} \frac{d^2(v^2)}{ds^2} &= -2\mu g\sin\alpha\,\frac{d\alpha}{ds}\\ \frac{d\alpha}{ds} &= \frac{2}{R} \end{aligned}\right.\] Действительно, подставляя в уравнение для \(d^2(v^2)/ds^2\) полученные выражения для \(\sin\alpha\) и \(d\alpha/ds\), приходим к уравнению гармонических колебаний \[\frac{d^2(v^2)}{ds^2} + \frac{4}{R^2}\,v^2 = 0.\]
С учетом условий \(v^2(0) = 0\) и \((v^2)'_s(0) = \mu gR\) приходим к решению \[v^2(s) = v_m^2\cdot\sin\left(\frac{2s}{R}\right).\] Как видно, скорость достигает максимума при \(s = \pi R/4\), то есть точно в точке \(C\).
Таким образом, во время заезда с минимальным временем прохождения полуокружности скорость автомобиля в точках \(C\), \(D\) и \(B\) равна максимальной: \(v_C = v_D = v_B = v_m = \sqrt{\mu gR} = 20\) м/с.
Ясно, что время прохождения участка полуокружности от \(C\) до \(B\) равно \[t_{CB} = \frac{3\pi R}{4v_m} = \frac{3\pi}{4}\sqrt{\frac{R}{\mu g}}.\] В зависимости от способа решения в пункте 2 далее можно использовать разные способы решения и в этом пункте.
Способ 1. Исключим угол \(\alpha\) из уравнений (1): на участке \(AC\) \[\sin\alpha = \frac{v^2}{\mu gR} \;\Rightarrow\; \frac{dv}{dt} = \mu g\cdot\sqrt{1 - \left(\frac{v}{v_m}\right)^4} \;\Rightarrow\; dt = \frac{v_m}{\mu g}\cdot\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}} = \sqrt{\frac{R}{\mu g}}\cdot\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}},\] где введено обозначение \(x \equiv v/v_m\). На этом участке величина \(x\) изменяется от 0 до 1, и поэтому, в соответствии с указанием из условия, \[t_{AC} = \sqrt{\frac{R}{\mu g}}\cdot\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}} = \beta\sqrt{\frac{R}{\mu g}}.\]
Способы 2 и 3. Поскольку на участке \(AC\) \(v(s) = v_m\sqrt{\sin(2s/R)} = ds/dt\), то \[dt = \frac{1}{v_m}\,\frac{ds}{\sqrt{\sin\left(\frac{2s}{R}\right)}} = \sqrt{\frac{R}{\mu g}}\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}},\] где введено обозначение \(x \equiv \sqrt{\sin(2s/R)}\). Отметим, что \[\sin\left(\frac{2s}{R}\right) = x^2 \;\Rightarrow\; 2\cos\left(\frac{2s}{R}\right)\frac{ds}{R} = 2x\,dx \;\Rightarrow\; \frac{ds}{R} = \frac{x}{\sqrt{1-x^4}}\,dx.\] На этом участке величина \(x\) изменяется от 0 до 1, и поэтому, в соответствии с указанием из условия, \[t_{AC} = \sqrt{\frac{R}{\mu g}}\cdot\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}} = \beta\sqrt{\frac{R}{\mu g}}.\] В итоге общее время прохождения полуокружности \(AB\) \[T = t_{AC} + t_{CB} = \left(\beta + \frac{3\pi}{4}\right)\sqrt{\frac{R}{\mu g}} \approx 14{,}7\text{ с}.\]
Мотоциклист на горбатом мосту
1/10Невесомость на вершине моста: центростремительное ускорение равно g, откуда скорость.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Автомобиль на выпуклом мосту
2/10На выпуклом мосту вес автомобиля mg − mv²/R; по заданному давлению найти v²/(gR) и затем силу при изменённой скорости. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Груз на вращающейся платформе
2/10Центростремительное ускорение создаёт сила трения покоя; максимальное расстояние — при предельном трении.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Монетка на виниловом диске
3/10Сила трения покоя создаёт центростремительное ускорение; на пределе скольжения она равна μmg, откуда μ = ω²r/g при ω = 2πn.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Бруски на вращающейся платформе
3/10Два бруска на вращающейся гладкой платформе, связанные нитью, один привязан к оси; центростремительное ускорение каждого даёт уравнения для сил, найти отношение натяжений нитей. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Натяжение нити маятника
3/10В точке на 60° от вертикали по нити проецируют силу тяжести и добавляют центростремительное ускорение v²/l.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Груз на упругом жгуте
3/10Груз вращается по окружности на жгуте; сила упругости даёт центростремительное ускорение, k(l−l0)=mω²l, откуда длина растянутого жгута.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Тело на стенке конуса
3/10Тело на гладкой внутренней поверхности конуса описывает горизонтальную окружность; второй закон Ньютона в проекциях даёт угловую скорость (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Тело на стенке конуса
3/10Тело на гладкой внутренней поверхности вертикального конуса в горизонтальном круге; второй закон Ньютона даёт угловую скорость (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарик на нити, поднимающийся не выше точки подвеса
4/10Шарик на нити после толчка поднимается на высоту h0 < l: из ЗСЭ скорость на высоте h и радиальное уравнение Ньютона дают линейную зависимость силы натяжения от высоты T(h) = mg(l + 2h0 − 3h)/l; по ней находят T на заданной высоте или высоту по заданной минимальной силе. (варианты 5–8)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарик на двух нитях при вращении
4/10Шарик на двух перпендикулярных нитях движется по окружности в горизонтальной плоскости; вертикальное равновесие и второй закон для центростремительной компоненты дают силы натяжения и угловую скорость. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Груз на конце вращающегося каната
4/10Груз и однородный канат вращаются вокруг вертикальной оси по гладкому столу; натяжение каната растёт к оси, минимальное — у груза (центростремительная сила), максимальное — у оси, где канат тянет груз вместе с собственным центром масс. (билеты 09-04, 09-05)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарик на нитях
4/10Шарик вращается по горизонтальной окружности на двух нитях под углами 30° и 60° к оси; записать второй закон Ньютона для вертикали и радиуса и найти угловые скорости, при которых натяжения нитей различаются вдвое (два случая).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Грузик на резинке в невесомости
5/10Сила упругости резинки сообщает грузу центростремительное ускорение mω²(l+x)=kx; находим x/l и отношение энергий, замечая ограничение ω<√(k/m).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Маятник
5/10Шарик на нити с большой амплитудой: натяжение через закон сохранения энергии и второй закон Ньютона; найти полное ускорение при натяжении в 4 раза больше минимального и допустимые амплитуды.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарик на двух нитях
5/10Шарик на двух нитях при вращении вокруг вертикальной оси; по отношению натяжений и углов нитей из вертикального и горизонтального уравнений найти силу и угловую скорость. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Силы натяжения нити маятника
5/10Шарик колеблется на нити с большой амплитудой: сила натяжения из закона сохранения энергии и радиального уравнения (минимум в крайней точке, максимум внизу); найти ускорения в момент заданного натяжения. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарик на двух нитях
5/10Шарик вращается в горизонтальной плоскости на двух нитях (разные углы, заданное отношение натяжений); проекции сил дают натяжение и угловую скорость. (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Силы натяжения нити маятника
5/10Шарик на нити колеблется с большой амплитудой; из энергии и радиального уравнения найти минимум и максимум натяжения, а в момент заданного натяжения — касательное или центростремительное ускорение. (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Груз на конце вращающегося однородного каната
5/10Груз с канатом вращается вокруг вертикальной оси по гладкому столу; натяжение у груза даёт минимум, а у оси — максимум, который находится из второго закона для всего каната через положение его центра масс. (билеты 11-07 … 11-10)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Жгут при увеличении скорости вращения
5/10Два вращения груза на жгуте с разной угловой скоростью: система из двух уравнений второго закона Ньютона с законом Гука; деление уравнений даёт длину недеформированного жгута и массу груза.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
WOT
5/10Танк с постоянной скоростью по окружности на наклонной плоскости: сила трения уравновешивает составляющую тяжести и даёт центростремительное ускорение; ограничение по трению задаёт предельную скорость, минимальное время и максимальный угол между трением и ускорением.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Модель автомобиля внутри проволочной сферы
5/10Модель едет равномерно по окружности внутри сферы: найти силу давления на сферу по геометрии движения, затем минимальную скорость на наклонной плоскости большого круга, когда держит только трение (условие в нижней точке, коэффициент трения). (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Вращающийся стержень, натяжение
5/10Однородный стержень равномерно вращается на столе; сила натяжения в сечении на расстоянии l от оси ∝ (L²−l²), по ней находят отношение натяжений в двух сечениях. (варианты с разными числами)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Вращающаяся верёвка
5/10Верёвка массой m вращается вокруг конца; натяжение в сечении на 5l/8 от оси — центростремительная сила внешней части, интеграл ω²r dm. Второй комплект.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарик в сосуде с водой
6/10Два связанных нитями шарика во вращающемся сосуде с водой движутся по окружностям; в воде архимедова сила имеет горизонтальную составляющую (градиент давления во вращающейся жидкости), из динамики вращения найти её направление и отношение натяжений нитей.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарик на нити и сдвигающийся брусок (шайба в чаше)
6/10Тело движется по окружности (шайба по гладкой чаше или шарик на нити на бруске), в момент начала скольжения опоры сила трения покоя достигает предела; через энергию находим скорость, силу давления и затем массу или коэффициент трения. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Бусинка на кольце
6/10Бусинка скользит по горизонтальному кольцу с трением: нормальная реакция даёт центростремительное ускорение и силу трения; найти силу трения, полное ускорение и путь при малом замедлении через приближённое решение.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шар на клине, удерживаемый нитью
6/10Шар на гладкой поверхности клина удерживается нитью, параллельной поверхности; найти натяжение нити или силу давления на клин в покое и при вращении вокруг вертикальной оси (нормальная реакция и нить дают центростремительную силу). (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шар на клине с горизонтальной нитью
6/10Шар на гладком клине удерживается горизонтально натянутой нитью, привязанной к вершине; найти натяжение в покое и при вращении системы вокруг вертикальной оси — второй закон Ньютона по вертикали и центростремительной компоненте. (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Поезд на закруглении
6/10Поезд замедляется на дуге; в середине участка у пассажира есть и нормальное, и тангенциальное ускорение, вес — модуль векторной разности силы тяжести и ma; по S, t, α, φ найти ускорения и связать вес с массой.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Автомобиль по окружности, горизонтальная и наклонная плоскости
6/10Трение шин ограничивает полное ускорение: на горизонтали минимальное время прохождения четверти окружности (разгон по касательной плюс центростремительное), на наклонной плоскости — максимальная скорость равномерного движения в наихудшей точке. (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Два самолёта на окружностях
6/10Два самолёта идут по окружностям с равной скоростью; найти превышение веса лётчика над силой тяжести и скорость второго самолёта во вращающейся системе отсчёта первого (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Нить наматывается на столб
7/10Шайба на нити, наматывающейся на столб, движется с постоянной по модулю скоростью по дугам убывающего радиуса; число оборотов находится из натяжения, а время — суммированием малых участков пути.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Школьники на карусели и велосипеде
7/10Один школьник на вращающейся карусели, второй едет по прямой; сравнить веса, найти скорость первого в поступательной и второго во вращающейся системе отсчёта (варианты 5–6).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Тройные звёзды
3/10Тройной звездой назовём три материальные точки одинаковой массы, движущиеся с постоянными по величине скоростями по окружности вокруг общего центра масс. Точки находятся на одинаковом расстоянии друг от друга и взаимодействуют только гравитационно. Можно считать, что рядом с тройной звездой никаких других тел нет.
Рассмотрим две тройные звезды одинаковых размеров. Массы материальных точек второй звезды в 10 раз больше масс материальных точек первой звезды. Определите отношение скоростей \(v_2/v_1\) материальных точек второй и первой звёзд. Ответ округлите до целого.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗапишите второй закон Ньютона для одной точки: центростремительное ускорение создаётся суммой сил притяжения двух других точек. Как результат зависит от массы?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(v_2/v_1 \approx 3\).
Бусинка на параболической проволоке
5/10Отрезок проволоки изогнут в виде симметричного участка параболы и расположен так, что ось её симметрии вертикальна. На этот отрезок надевают маленькую бусинку массой \(m\), удерживая её у одного из краёв проволоки. Затем бусинку отпускают без начальной скорости, и она начинает скользить по проволоке под действием силы тяжести. Найдите модуль силы, с которой бусинка будет давить на проволоку, находясь в самой нижней точке своей траектории. Трение пренебрежимо мало. Размеры \(L\) и \(H\), указанные на рисунке, известны.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость внизу найдите из закона сохранения энергии, а второй закон Ньютона для движения по окружности требует радиуса кривизны параболы в вершине. Его можно найти, сравнив параболу с окружностью вблизи вершины.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(N = mg\left(1 + \dfrac{16H^2}{L^2}\right)\).
На нитке
5/10Маленький шарик массой \(m\) висит неподвижно на невесомой нерастяжимой нити длиной \(L = 75\) см. Шарику толчком сообщают такую горизонтальную скорость, что при последующем движении он поднимается над начальной точкой на высоту, меньшую \(L\), а минимальная сила натяжения нити оказывается равна \(mg/2\). На какой высоте \(h\) (считая от начальной точки) находится шарик в тот момент времени, когда сила натяжения нити оказывается равна \(mg\)? В ответе на вопрос укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНатяжение минимально в верхней точке траектории, где скорость равна нулю. Свяжьте силу натяжения с углом отклонения нити и скоростью через второй закон Ньютона вдоль нити и закон сохранения энергии.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветОтвет 3: 25 см.
Шайба в полости и ускорение
5/10На горизонтальной протяжённой плоскости находится брусок, в котором сделана шарообразная полость радиусом \(R = 0{,}2\) м (см. рисунок, представленный ниже). В нижней точке полости лежит маленькая шайба массой \(m = 0{,}1\) кг. Изначально система покоится. В некоторый момент брусок начинает двигаться горизонтально с ускорением \(a\) под действием внешней силы. Шайба при этом тоже приходит в движение. Трение в системе отсутствует. Ускорение свободного падения \(g\) считайте равным \(10\) м/c\(^2\).
(1 балл) При каком минимальном значении \(a_{\min}\) ускорения бруска шайба в процессе движения достигнет точки \(A\)? Ответ дайте в м/c\(^2\), округлите до целого.
(2 балла) Пусть ускорение бруска равно \(a = g\sqrt{3}\). Определите силу, с которой шайба действует на брусок, когда она проходит точку \(A\), лежащую на горизонтальном диаметре полости. Ответ дайте в ньютонах, округлите до целого.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ системе отсчёта бруска добавляется сила инерции. Как выглядит движение шайбы в поле «эффективной» силы тяжести, и где в этом поле «нижняя» точка?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(a_{\min} = g = 10\) м/c\(^2\); 2) \(N = mg(3\sqrt{3} - 2) \approx 3\) Н.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПерейдём в неинерциальную систему отсчёта, связанную с бруском. Сила инерции, возникающая в этой системе отсчёта, может быть учтена введением эффективного ускорения свободного падения \(\vec g_{\text{эфф}} = \vec g - \vec a\). В условиях второго вопроса \(\vec g_{\text{эфф}}\) составляет угол \(\pi/6\) с горизонтом, при этом \(|\vec g_{\text{эфф}}| = 2g\).
Шайба на нити на наклонной плоскости
6/10На наклонной плоской поверхности, составляющей угол \(\alpha = 60^\circ\) с горизонтом, находится небольшая плоская шайба массой \(m = 0{,}5\) кг, прикреплённая лёгкой нитью длиной \(L = 1\) м к точке на этой поверхности. Шайбу толкнули вдоль поверхности так, что нить натянута и скорость шайбы перпендикулярна нити. В некоторый момент шайба имеет направленную горизонтально скорость \(V = 2\) м/с. Коэффициент трения шайбы о плоскость равен \(\mu = 0{,}6\). Каково по модулю ускорение \(a\) шайбы в этот момент времени? Какова сила натяжения \(F\) нити в этот момент? Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРазложите ускорение на нормальную (вдоль нити) и касательную (вдоль скорости) составляющие. Касательную создаёт только сила трения, нормальную — нить и составляющая силы тяжести вдоль плоскости.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(a = \sqrt{(V^2/L)^2 + (\mu g\cos\alpha)^2} = 5\) м/с\(^2\); \(F = mV^2/L + mg\sin\alpha \approx 6{,}33\) Н.
Заряженные шарики на орбите
6/10Небольшое тело с зарядом \(Q = +9\text{ мкКл}\) закреплено неподвижно. Маленький заряженный шарик запустили таким образом, что он стал вращаться вокруг этого тела по круговой орбите. Когда два таких же шарика запустили так, что они стали вращаться по той же самой орбите, то период их обращения оказался на \(20\%\) больше, чем у одного шарика. Найдите заряд каждого из шариков, выразив его в мкКл и округлив до целых. Действием возникающих магнитных полей пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаШарики вращаются по одной орбите и отталкиваются или притягиваются друг к другу, поэтому на каждый действует сила от закреплённого тела и от второго шарика; для двух шариков равнодействующая направлена к центру орбиты.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(-11\) мкКл.
Обруч на неподвижном бревне
6/10Цилиндрическое бревно радиусом \(r\), ось которого горизонтальна, неподвижно закреплено. На бревно надет тонкий однородный обруч массой \(m\) и радиусом \(R\) так, как показано на рисунке слева. Обруч вывели из положения равновесия, отклонив его в плоскости рисунка так, что прямая, соединяющая центр обруча и точку касания обруча с бревном, образовала угол \(\alpha\) с вертикалью (см. рис. справа), и отпустили. В процессе возникших после этого колебаний обруч движется по бревну без проскальзывания.
Найдите скорость нижней точки обруча при прохождении им положения равновесия.
Найдите модуль силы, с которой обруч давит на бревно при прохождении положения равновесия.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаГде находится мгновенная ось вращения обруча, катящегося без проскальзывания? Как тогда связаны скорость центра обруча и скорость его нижней точки, и чему равна кинетическая энергия? Центр обруча движется по окружности.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V = 2\sqrt{g(R-r)(1-\cos\alpha)}\); 2) \(N = mg\,(2 - \cos\alpha)\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеЗаметим, что центр масс обруча движется по окружности радиусом \(R - r\). Пусть скорость центра масс обруча при прохождении обручем положения равновесия равна \(v\). Скорость верхней точки обруча в этот момент равна нулю, поскольку обруч движется по бревну без проскальзывания. Таким образом, через верхнюю точку обруча проходит мгновенная ось вращения. Отсюда легко найти, что скорость нижней точки равна \(V = 2v\). Движение обруча в этот момент можно представить как движение центра масс со скоростью \(v\) и вращение всех точек обруча в системе отсчёта центра масс также со скоростью \(v\). Кинетическая энергия обруча при таком движении равна \(E_\text{к} = mv^2\). (Действительно, можно представить, что обруч сначала разогнали поступательно до скорости \(v\), совершив при этом работу \(mv^2/2\), а потом в системе отсчёта центра масс раскрутили его, разогнав обод до скорости \(v\), и совершив при этом работу, также равную \(mv^2/2\). Суммарная работа в итоге будет равна \(E_\text{к} = mv^2\).)
При переходе обруча из исходного отклонённого положения в нижнее положение его центр масс опустится на величину \[h = (R - r)(1 - \cos\alpha) .\] Приравнивая начальную потенциальную энергию обруча его конечной кинетической энергии, получаем: \[mv^2 = mgh .\] С учётом выражения для \(h\) имеем \(v^2 = g(R-r)(1-\cos\alpha)\), и \(v = \sqrt{g(R-r)(1-\cos\alpha)}\). Следовательно, искомая скорость нижней точки обруча при прохождении им положения равновесия равна \[V = 2v = 2\sqrt{g(R-r)(1-\cos\alpha)} .\] Для ответа на второй вопрос запишем уравнение движения центра масс для момента прохождения им нижней точки траектории в процессе движения по окружности радиусом \(R - r\). Центр масс имеет при этом центростремительное ускорение, и \[m a_\text{цс} = m\frac{v^2}{R - r} = mg(1 - \cos\alpha) = N - mg ,\] где \(N\) — сила, с которой бревно действует на обруч. В соответствии с третьим законом Ньютона обруч давит на бревно с такой же по модулю силой. Поэтому \[N = mg\,(2 - \cos\alpha) .\]
Шарик на ниточке
6/10Человек раскручивает в вертикальной плоскости полиуретановый шарик, закреплённый на одном конце тонкой, но прочной, нерастяжимой нитки, держась за петельку на другом её конце. Когда скорость шарика становится достаточно большой и почти перестаёт изменяться, точка, в которой человек держит петлю, движется по окружности радиусом \(r\). Определите минимально возможное значение \(r\), если длина нитки между петлёй и шариком равна \(L = 1\) м, а радиус шарика равен 1 см. Плотность полиуретана равна \(\rho = 1200\) кг/м\(^3\). Сила сопротивления воздуха даётся соотношением \(F_D = \dfrac{\rho_0 v^2}{4}S\), где \(\rho_0\) — плотность воздуха, \(S\) — площадь поперечного сечения шара, \(v\) — его скорость. Молярная масса воздуха равна \(\mu = 29\) г/моль. Воздух находится при нормальных условиях. Можно считать, что \(v \gg \sqrt{gL}\). Ускорение свободного падения равно \(g = 10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри большой скорости силой тяжести можно пренебречь. Нитка наклонена к радиусу, потому что сила сопротивления тормозит шарик, а рука должна компенсировать это тангенциальной составляющей натяжения. Радиус \(r\) минимален, когда нитка идёт по касательной к окружности руки.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(r \approx L\cdot\dfrac{3L}{16\rho R_0}\cdot\dfrac{p\mu}{RT} \approx 20\) мм
Мальчик с шариком
6/10Мальчик Влад бегает по кругу, держа в руке конец нитки длиной \(2\sqrt{2}\) м, к другому концу которой прикреплен небольшой надувной шарик с гелием внутри. Один круг Влад пробегает за \(2\pi\) секунд. Рука, держащая нить, движется по окружности радиусом 2 м. Шарик движется по окружности такого же радиуса на 2 метра выше руки по вертикали. С какой установившейся скоростью будет взлетать шарик, если нить отпустить.
Можно считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости, а радиус шарика много меньше длины нити. Ускорение свободного падения равно \(g = 10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИз геометрии найдите углы нити. При движении по окружности сила сопротивления направлена против скорости шарика; запишите второй закон Ньютона по вертикали и вдоль скорости и исключите натяжение.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(u = \sqrt{\dfrac{8}{\sqrt{3}}}\text{ м/с} \approx 2{,}1\text{ м/с}\).
Эффект Магнуса
6/10В спортивных играх с мячом широко применяются кручёные удары, при которых мячу сообщается не только поступательная скорость, но и вращение. В результате мяч движется по сложной траектории и при определённых условиях отклоняется в сторону от вертикальной плоскости, содержащей вектор начальной скорости.
Такая траектория мяча объясняется эффектом Магнуса. Взаимодействие вращающегося мяча с воздухом количественно характеризуется двумя силами: силой сопротивления \(F_\text{D}\) (направленной противоположно скорости центра мяча) и силой Магнуса \(F_\text{M}\), направленной перпендикулярно скорости (см. рис. 3) и также перпендикулярно оси вращения. В этой задаче считается, что ось вращения перпендикулярна направлению скорости центра мяча.
В первом приближении можно считать, что эти силы задаются формулами: \[F_\text{D} = C_\text{D} v^2, \qquad F_\text{M} = C_\text{M}\,\omega v,\] где \(C_\text{D}\) и \(C_\text{M}\) "— постоянные коэффициенты, \(v\) "— скорость центра мяча, \(\omega\) "— угловая скорость его вращения (предполагается, что в процессе полёта она не изменяется).
Анализ движения вращающегося тела в поле тяжести при наличии аэродинамических сил достаточно сложен. Поэтому далее мы пренебрежём силой тяжести и ограничимся рассмотрением плоского движения мяча под действием только двух сил: лобового сопротивления \(F_\text{D}\) и силы Магнуса \(F_\text{M}\).
Пусть \(C_\text{D} = 0\), то есть сила сопротивления отсутствует. Известны величины \(C_\text{M}\), \(\omega\) и \(m\). Мяч вылетает из точки \(A\) со скоростью \(v_0\) под углом \(\alpha = 30^\circ\) к горизонтальной прямой. Найдите расстояние \(AB\), где \(B\) "— точка повторного пересечения траектории с этой прямой.
В этом пункте \(C_\text{D} \neq 0\). Мяч массой \(m = 3\) г вылетает со скоростью \(v_0 = 15\) м/с под углом \(\alpha = 30^\circ\) к вертикали. Угловая скорость вращения \(\omega = 100\) рад/с. Траектория движения мяча за промежуток времени \(t_0 = 0{,}5\) с показана на рис. 4. Этот график получен методом численного моделирования; копия графика представлена на листе 4, см. рис. 7.
Зависимость модуля скорости мяча от времени \(v(t)\) за тот же промежуток приведена на рис. 5. Используя графики, определите коэффициенты \(C_\text{D}\) и \(C_\text{M}\) с максимально возможной точностью.
Масса 3 г и указанные кинематические параметры типичны для мяча в настольном теннисе при кручёных ударах средней силы.
Копия графика траектории (рис. 7) для работы:
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСила Магнуса перпендикулярна скорости и не меняет её модуль, а только поворачивает вектор скорости. Как связан радиус кривизны траектории с этой силой? Для \(C_\text{D}\) посмотрите, как быстро убывает скорость на графике \(v(t)\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(AB = R = \dfrac{m v_0}{C_\text{M}\,\omega}\); 2) \(C_\text{M} \approx 1{,}25\cdot 10^{-4}\) кг, \(C_\text{D} \approx 4{,}8\cdot 10^{-4}\) кг/м.
Маятник с гвоздями
7/10В вертикальную стену наполовину забиты два гвоздя, один строго под другим. К верхнему привязывают нить длиной \(l\) с шариком, которые образуют математический маятник. Маятник отклоняют в горизонтальное положение и отпускают без начальной скорости, так, чтобы, двигаясь, он не касался стены. Когда нить приходит в вертикальное положение, она сталкивается с нижним гвоздём, который в этот момент находится на расстоянии \(r\) от шарика. Найдите отношение \(r/l\), если шарик в процессе движения падает на нижний гвоздь. Ответ округлите до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаШарик отрывается от нити, когда она ослабевает, и дальше летит как тело, брошенное под углом. Запишите условие \(T=0\) на окружности радиуса \(r\) и условие, что траектория проходит через центр этой окружности.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(r/l \approx 0{,}54\).
Кольцо заряженных шариков в выключаемом поле
9/10На гладкой горизонтальной плоскости лежат \(N\) маленьких одинаково заряженных шариков равной массы (см. рисунок). Суммарный заряд шариков \(Q\), суммарная масса \(M\). Шарики связаны друг с другом непроводящей легкой нерастяжимой нитью, образуя кольцо. Длина нити между двумя соседними шариками равна \(l\). Система находится в вертикальном магнитном поле \(B\), причем суммарный поток магнитной индукции, пронизывающий кольцо, равен \(\Phi_0\). Изначально все шарики покоятся. В некоторый момент магнитное поле выключают. Найдите изменение \(\Delta F\) силы натяжения нити после выключения поля.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри выключении поля возникает вихревое электрическое поле, раскручивающее шарики. Найдите скорость шариков из импульса силы, затем сравните силы натяжения до и после.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(\Delta F = \dfrac{Q^2\Phi_0^2 \sin^2\dfrac{\pi}{N}}{\pi^2 M N l^3}\).
Шайба на гладком полушаре
3/10Шайба соскальзывает с вершины неподвижного полушара: из ЗСЭ скорость на угле α, радиальное и тангенциальное уравнения Ньютона дают силу давления N = mg(3cosα − 2) и aτ = g sinα; по заданному aτ или N находят угол, а по нему — вторую величину. (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Спутник с двигателем
3/10Спутник у поверхности летит с половиной первой космической скорости; по уравнению центростремительного движения найти радиальную силу тяги и её направление.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Ускорения математического маятника
4/10Нормальное ускорение в нижней точке в 1,2 раза больше, чем в крайней; через энергию и разложение сил найти угол отклонения.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Самолёт на экваторе
4/10Самолёт летит вдоль экватора на восток и на запад: скорость относительно оси Земли разная, значит различна центростремительная часть силы тяжести, и вес груза на пружинных весах отличается; найти разность показаний (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Спутник с работающим двигателем
4/10Спутник на малой высоте движется вдвое быстрее первой космической скорости орбиты; сила двигателя уравновешивает разность центростремительного ускорения и тяготения (направлена от планеты). Регионы.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Канат с грузом на вращающемся столе
5/10Однородный канат с грузом на конце вращается по гладкому столу вокруг оси, проходящей через другой конец. Сила на груз — из центростремительного ускорения груза и натяжения; натяжение на расстоянии l/3 — через суммирование (интегрирование) центростремительных сил участка каната за этой точкой.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Вращающаяся изогнутая трубка с жидкостью
5/10Трубка с жидкостью вращается вокруг вертикальной оси, вертикальные колена на расстояниях R и kR от оси: горизонтальный столбик жидкости движется с центростремительным ускорением центра масс, разность давлений на его концах ρgH, откуда связь H и ω. (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
На вираже (1)
5/10Мощность двигателя при постоянной скорости даёт силу тяги, равную сопротивлению; на повороте сила трения колёс складывается из тяги и центростремительной составляющих (векторно) — найти допустимые коэффициенты трения на прямой и на вираже.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шар в воде во вращающемся коническом сосуде
5/10Шар на дне конического сосуда, вращающегося вместе с водой; в покое — сила давления с учётом Архимеда, при вращении — сила Архимеда во вращающейся жидкости (градиент давления даёт «центробежную» добавку) плюс уравнение движения шара по окружности. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Камень и модель самолёта на траектории камня
5/10Из дальности (высоты) полёта камня найти начальную скорость; затем самолёт летит с постоянной по модулю скоростью по той же траектории — в верхней точке нужен радиус кривизны, и сила воздуха находится из ускорения v²/R. (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарики на стержне теряют контакт
5/10Два шарика на лёгком стержне: нижний скользит по плоскости, на одной вертикали сила его давления на плоскость обращается в ноль; энергия и динамика верхнего шарика дают начальную скорость.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Бусинка на кольце
6/10Две бусинки соскальзывают без трения с вершины стоящего кольца; из энергии и второго закона Ньютона для движения по окружности найти силу давления бусинок на кольцо и условие, когда её вертикальная составляющая превысит вес кольца и оно оторвётся.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Вода и ртуть
6/10U-образную трубку с водой и ртутью раскрутили вокруг колена с водой, уровни выровнялись; перепад давления вдоль горизонтального участка при вращении (центростремительное ускорение, площадь под линейным графиком) уравновешивает разность давлений столбов — найти период.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Раздельный вылет
6/10Два касающихся шарика движутся по U-образной трубке без трения; на повороте внешний прижимается к стенке и шарики расходятся (энергия, импульс, силы в контакте); найти скорости u, при которых один вылетит по верхнему колену, другой по нижнему.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Отрыв цилиндра
6/10Цилиндр на невесомой нерастяжимой ленте, закреплённой в O; к концу приложена горизонтальная постоянная сила F — найти скорость в момент отрыва (обращение в нуль натяжения) через энергию и динамику по окружности.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шар между движущимися пластинами и жук внутри
6/10Полый шар зажат между пластинами, движущимися в противоположные стороны без проскальзывания; скорость центра и угловая скорость вытекают из скоростей точек касания, а сила давления жука на шар — из динамики вращения по окружности в верхней и нижней точках. (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Муфта, кольцо и нить
6/10Муфту тянут по прямой, кольцо скользит по дуге окружности, они связаны нерастяжимой нитью: равенство проекций скоростей на нить даёт скорость кольца и скорость относительно муфты, сила натяжения — из движения кольца по окружности (проекция на нормаль). (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарик на нити
6/10Шарик на нити по гладкой плоскости тормозится вязким трением; угол ускорения к нити даёт отношение касательной и нормальной компонент, а полный путь до остановки получается суммированием mv/k — найти угол поворота нити.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шар на нити в воде во вращающемся сосуде
6/10Шар на нити у вертикальной стенки: в покое — равновесие сил и моментов с гладкой стенкой; при вращении сосуда с водой шар полностью в воде, сила Архимеда во вращающейся жидкости направлена по градиенту давления, найти угол нити или период. (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Бросок вдоль параболического холма
6/10Чтобы тело летело вдоль поверхности y=H−αx², траектория броска должна совпасть с формой холма: сравнивают радиус кривизны холма в вершине с v²/g и находят начальную скорость (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шайба в полусфере на подвижном бруске у стенки
6/10Шайба скользит в гладкой полусфере внутри бруска, прижатого к стенке: пока шайба идёт вниз, брусок неподвижен, потом сохраняются импульс и энергия; найти массу бруска, его максимальную скорость и силу давления на горизонтальную поверхность в этот момент. (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Тело на нити в полусферической чаше
6/10Тело на нити у края полусферической чаши; траектория — окружность в вертикальной плоскости (пересечение сфер), по энергии найти скорость внизу и центростремительное ускорение.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Колечко на параболе без давления на проволоку
6/10Сила реакции ноль всё время, значит колечко движется как свободно падающее по параболе; через радиус кривизны в вершине и энергию находится начальная скорость.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Обруч катится по внутренней поверхности цилиндра
6/10При качении обруча внутри цилиндра энергия поступательного и вращательного движения равна mv²; центростремительное ускорение центра максимально внизу и минимально вверху, из их отношения находится максимум.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Цепочка на сфере
7/10Однородная цепочка, закреплённая вверху гладкой сферы, освобождается; найти ускорение элементов сразу после освобождения (проекции силы тяжести на касательную) и место максимального натяжения.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Два шарика
7/10Два шарика на нити лежат на гладкой плоскости, одному сообщают вертикальную скорость; в момент вертикальной нити найти радиус кривизны траектории верхнего шарика через нормальное ускорение в неинерциальной (движущейся с центром масс) системе и условие отрыва нижнего от плоскости.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Крутится, вертится
7/10Два шарика на нити плавают во вращающейся воде; в неинерциальной системе градиент давления даёт архимедову силу вдоль радиуса, из баланса сил на обоих шариках найти натяжение нити и угловую скорость.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Бусинки на перпендикулярных направляющих
7/10Спица с концами на двух перпендикулярных направляющих: середина спицы движется по окружности с постоянной скоростью, бусинка на ней без скольжения по спице; найти скорость, трение и реакцию спицы (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.