Шарик во вращающемся стакане

Вода вращается вместе со стаканом, и её поверхность изогнута. Для кусочка воды такой же формы, как шарик, сила давления окружающей воды обеспечивает его движение по окружности. А что будет с шариком, если его центр и центр вытесненной воды лежат на разных расстояниях от оси?

В центре, на оси вращения стакана.

Что происходит. Вода вращается вместе со стаканом с угловой скоростью \(\omega\), и её поверхность — вогнутая воронка. Шарик, плавая на ней, тоже вращается вокруг оси. Для этого нужна сила, направленная к оси; её создаёт вода. Главная идея: сила давления воды на шарик такая же, как на кусочек воды той же формы, но шарик «хочет» двигаться по окружности радиуса центра шарика, а вода — по окружности радиуса центра вытесненного объёма. Это разные радиусы.

Обозначения. \(m\) — масса шарика, \(\beta\) — угол наклона поверхности воды к горизонту в месте, где плавает шарик, \(r_m\) — расстояние от оси до центра шарика, \(r_c\) — расстояние от оси до центра масс погружённого объёма (вытесненной воды).

1. Наклон поверхности. Рассмотрим малый кусочек воды массы \(m_1\) на поверхности на расстоянии \(r\) от оси. Он движется по окружности, и вода под ним действует с силой \(\vec N\), перпендикулярной поверхности (на поверхности давление постоянно и равно атмосферному, касательной силы нет). Второй закон Ньютона в проекциях на вертикаль и на радиальное горизонтальное направление: \(N\cos\beta=m_1g\), \(N\sin\beta=m_1\omega^2r\). Отсюда \[\mathrm{tg}\,\beta=\frac{\omega^2r}{g}.\]

2. Малый шарик: в первом приближении безразлично, где. Для точечного шарика сила Архимеда \(\vec F_{\text{арх}}\) направлена так же, как \(\vec N\) для воды, перпендикулярно поверхности. Вертикально \(F_{\text{арх}}\cos\beta=mg\), а горизонтальная составляющая \(mg\,\mathrm{tg}\,\beta=m\omega^2r\) как раз равна нужной центростремительной силе. Значит, в первом приближении шарик может находиться в любой точке поверхности, и вертикальное, и горизонтальное уравнения выполнены.

3. Шарик конечного размера. Заменим мысленно погружённую часть шарика водой той же формы. Такой кусок воды вращался бы вместе со всей водой, двигаясь по окружности радиуса \(r_c\), и для этого вода вокруг создавала бы на него силу давления с вертикальной составляющей, равной весу вытесненной воды, и горизонтальной, равной \(m_{\text{в}}\omega^2r_c\) (центр масс куска воды движется по окружности радиуса \(r_c\)). Силы давления на шарик те же. Вертикально они уравновешивают его вес: \(m_{\text{в}}g=mg\), то есть \(m_{\text{в}}=m\) (условие плавания). Горизонтальная составляющая даёт шарику \(m\omega^2r_c\), а для движения центра шарика по окружности нужно \(m\omega^2r_m\).

4. Куда сдвинется. Погружённая часть лежит под поверхностью, которая наклонена вверх к стенке, то есть смещена от центра шарика вниз по склону, к стенке: \(r_c>r_m\). Давление воды даёт больше, чем нужно для круговой траектории шарика: \[m\omega^2\,(r_c-r_m)>0,\] и избыток направлен к оси: шарик скатывается к центру.

Для шарика, погружённого наполовину (радиус \(R\)): центр масс полушара лежит на расстоянии \(\dfrac{3R}{8}\) от центра шарика перпендикулярно поверхности, поэтому \(r_c-r_m=\dfrac{3R}{8}\sin\beta\), и при небольшом \(\beta\) сила к оси равна \[F_r\approx\frac{3mR\omega^4}{8g}\,r .\] Она пропорциональна расстоянию от оси, как возвращающая сила пружины, и равна нулю лишь на оси. Например, при \(R=1\text{ см}\), \(\omega=10\text{ с}^{-1}\) и \(r=3\text{ см}\) ускорение шарика к оси \(\approx0{,}1\text{ м/с}^2\) (около \(1\,\%\) от \(g\)): шарик уходит к центру медленно, и вязкость воды успевает его тормозить.

Обратите внимание: сила Архимеда направлена перпендикулярно поверхности, а не вертикально вверх, поэтому в первом приближении никакого сноса нет. Скатывает шарик только отличие \(r_c\) от \(r_m\), то есть конечный размер шарика; на оси поверхность горизонтальна, \(r_c=r_m\) и сила равна нулю.

Ответ. Шарик остановится в центре поверхности, на оси вращения стакана. Равновесие там устойчиво: смещение от оси вызывает силу, возвращающую шарик назад к оси.

Проверка. Размерность: \(mR\omega^4r/g\) — \(\text{кг}\cdot\text{м}\cdot\text{с}^{-4}\cdot\text{м}\cdot\text{с}^2/\text{м}=\text{Н}\). Предел \(\omega\to0\): сила \(\to0\), в неподвижной воде шарику безразлично, где плавать (поверхность горизонтальна). Предел \(R\to0\): сила \(\to0\), для точечного шарика безразличное равновесие, как в п. 2. Знак силы тот же, что у воздушного пузырька во вращающейся жидкости, который легче воды и уходит к оси.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.