Вращающаяся трубка с водой

Рассмотрим условия равновесия относительно трубки массы воды, находящейся между поперечными сечениями, отстоящими на \(x\) и \(x + \Delta x\) от оси вращения. Эта часть жидкости, масса которой равна \(\rho_{\text{в}}S\,\Delta x\), равномерно вращается с угловой скоростью \(\omega\) под действием сил давления, действующих на её боковые поверхности. Обозначая давление в сечении \(x\) как \(p(x)\), находим \[[p(x + \Delta x) - p(x)]\,S = \rho S\,\Delta x\,\omega^2\,(x + \Delta x/2).\] Устремляя \(\Delta x\) к нулю, получаем уравнение \[dp/dx = \rho_{\text{в}}\omega^2x;\] отсюда \[p(x) = \rho_{\text{в}}\omega^2x^2/2 + p_0.\] Используя данные задачи, \[p_1 = p(r_1) = \rho_{\text{в}}\omega^2r_1^2/2 + p_0,\] \[p_2 = p(r_2) = \rho_{\text{в}}\omega^2r_2^2/2 + p_0,\] находим угловую скорость вращения трубки: \[\omega = \sqrt{\frac{2}{\rho_{\text{в}}}\,\frac{p_2 - p_1}{r_2^2 - r_1^2}}.\]