Период обращения Нептуна

Запишем уравнения движения Нептуна и Земли вокруг Солнца (для простоты рассуждений предположим, что орбиты круговые): \[m_{\text{Н}}\omega_{\text{Н}}^2R_{\text{Н}} = GMm_{\text{Н}}/R_{\text{Н}}^2,\] \[m_{\text{З}}\omega_{\text{З}}^2R_{\text{З}} = GMm_{\text{З}}/R_{\text{З}}^2.\] Здесь \(m_{\text{Н}}\), \(m_{\text{З}}\), \(\omega_{\text{Н}}\), \(\omega_{\text{З}}\), \(R_{\text{Н}}\), \(R_{\text{З}}\) — массы, угловые скорости, радиусы орбит Нептуна и Земли соответственно, а \(M\) — масса Солнца. Учтем теперь связь между угловой скоростью и периодом обращения вокруг Солнца: \[\omega_{\text{Н}} = 2\pi/T_{\text{Н}},\qquad \omega_{\text{З}} = 2\pi/T_{\text{З}}.\] Здесь \(T_{\text{Н}}\) — период обращения Нептуна, а \(T_{\text{З}}\) — период обращения Земли вокруг Солнца. В результате находим, что период обращения Нептуна вокруг Солнца равен \[T_{\text{Н}} = T_{\text{З}}\sqrt{R_{\text{Н}}^3/R_{\text{З}}^3} \approx 165\text{ лет}.\] Аналогичный результат получится и для эллиптических орбит из 3-го закона Кеплера.