Шайба в обруче

Силы, действующие на систему обруч — шайба, — это сила тяжести и сила нормальной реакции со стороны плоскости. Обе эти силы направлены вдоль вертикали. Следовательно, центр масс системы в горизонтальном направлении не перемещается.

Поскольку трение между обручем и плоскостью отсутствует, обруч движется поступательно. Согласно закону сохранения импульса, в любой момент времени \[Mu + mv_x = 0, \qquad(1)\] где \(u\) и \(v_x\) — горизонтальные проекции скоростей центра обруча и шайбы. Так как \(v_x\) периодически меняет знак, то и \(u\) «синхронно» меняет знак. Общий характер движения обруча таков: шайба на участках \(BC\) и \(BE\) — центр обруча движется вправо; шайба на участках \(CD\) и \(DE\) — центр обруча движется влево (рис. 163).

Скорости шайбы \(v\) и обруча \(u\) связаны законом сохранения энергии: \[mgr(1+\cos\varphi) = mv^2/2 + Mu^2/2. \qquad(2)\] Движение шайбы относительно неподвижного наблюдателя можно представить в любой момент времени как суперпозицию двух движений: движения относительно центра обруча со скоростью \(v_t\), направленной по касательной к обручу, и движения вместе с обручем со скоростью \(u\), направленной горизонтально (рис. 164). Как видно из рисунка, \[v_y/(v_x + v_y) = \operatorname{tg}\varphi. \qquad(3)\] Решая совместно уравнения (1)–(3), найдём скорость центра обруча в тот момент, когда радиус-вектор точки, в которой находится шайба, составляет угол \(\varphi\) с вертикалью: \[u = m\cos\varphi\sqrt{2gr(1+\cos\varphi)/[(M+m)(M+m\sin\varphi)]}.\]