Брусок на ленте транспортёра

Количество выделившейся теплоты будет максимальным при условии, что брусок пройдёт максимальное расстояние относительно транспортёра. Для этого необходимо, чтобы около ролика \(A\) скорость бруска относительно земли стала равной нулю (см. рис. 41). Начальная скорость относительно земли, которую при этом должен иметь брусок, определяется условиями \[-v_0 + at = 0,\qquad l = v_0t - at^2/2,\] где \(a = \mu g\) — ускорение, сообщаемое бруску силой трения. Отсюда \[v_0 = \sqrt{2\mu gl}.\] Время движения бруска по ленте транспортёра до ролика \(A\) равно \[t = \sqrt{2l/(\mu g)}.\] До остановки брусок пройдёт по ленте путь, равный \[s_1 = l + vt = l + v\sqrt{2l/(\mu g)}.\] Далее брусок начнёт двигаться равноускоренно вправо. Интервал времени, спустя который прекратится проскальзывание, равен \(\tau = v/a = v/\mu g\). За это время относительно земли брусок переместится на расстояние \[s = a\tau^2/2 = v^2/(2\mu g).\] Так как по условию задачи \(v < \sqrt{2\mu gl}\), то за время \(\tau\) брусок не соскользнёт с транспортёра, т. е. \(s < l\).

Путь, который за это время брусок пройдёт относительно ленты транспортёра, равен \[s_2 = |\,v^2/2a - v\tau\,| = v^2/(2\mu g).\] Полный путь бруска относительно ленты равен \[s = s_1 + s_2 = l + v\sqrt{2l/(\mu g)} + v^2/(2\mu g) = (v + \sqrt{2\mu gl})^2/(2\mu g).\] Количество теплоты, выделившееся за счёт работы силы трения, равно \[Q = \mu mgs = m(v + \sqrt{2\mu gl})^2/2.\]