Ромб из стержней с пружиной

Со стороны стержней на груз действует сила \(F_1 = 2F_{\text{н}}\cos\alpha\), на пружину — \(F_2 = 2F_{\text{н}}\sin\alpha\) (см. рис. 48). Согласно закону Гука, \(F_2 = (1{,}5l - 2l\sin\alpha)\,k\), где \(k\) — жёсткость пружины. В результате \[F_1 = 1{,}5lk\operatorname{ctg}\alpha - 2lk\cos\alpha.\] Чтобы найти период малых колебаний, нужно определить силу \(\Delta F\), действующую на груз при малом изменении высоты груза \(\Delta h\) относительно положения равновесия \(h_0 = 2l\cos\alpha_0\). Получим \[\Delta F = 1{,}5lk\,\Delta(\operatorname{ctg}\alpha) - 2lk\,\Delta(\cos\alpha),\] где \[\Delta(\operatorname{ctg}\alpha) = \left(\frac{d\operatorname{ctg}\alpha}{d\alpha}\right)_{\alpha=\alpha_0}\Delta\alpha = -\frac{\Delta\alpha}{\sin^2\alpha_0},\qquad \Delta(\cos\alpha) = -\sin\alpha_0\cdot\Delta\alpha.\] Следовательно, поскольку \(\Delta h = -2l\sin\alpha_0\,\Delta\alpha\), то \[\Delta F = -1{,}5k\,\frac{l\,\Delta\alpha}{\sin^2\alpha_0} + 2kl\sin\alpha_0\,\Delta\alpha = -5kl\,\Delta\alpha = -5k\,\Delta h,\] так как \(\sin\alpha_0 = 1/2\).

Период малых колебаний груза найдём по формуле \(T = 2\pi\sqrt{m/(5k)}\), где \(m\) — масса груза, определяемая из условия равновесия: \[1{,}5kl\operatorname{ctg}\alpha_0 - 2lk\cos\alpha_0 = mg,\] \[m = (\sqrt3/2)\,(kl/g).\] Таким образом, \[T = 2\pi\sqrt{\sqrt3\,l/(10g)}.\]