Метеорит и космическая станция

Пусть \(v_1\) — скорость станции до столкновения, \(v_2\) — скорость станции и метеорита сразу после столкновения, \(m\) — масса метеорита, \(10m\) — масса станции.

До столкновения станция двигалась вокруг планеты по круговой орбите радиуса \(R\), поэтому скорость станции \(v_1\) находится из уравнения \[10mv_1^2/R = G\cdot 10mM/R^2.\] Отсюда \(v_1 = \sqrt{GM/R}\). Скорости \(u\), \(v_1\) и \(v_2\), согласно закону сохранения импульса, связаны соотношением \[m\vec u + 10m\vec v_1 = 11m\vec v_2.\] Напишем закон сохранения импульса в проекциях на оси \(x\) и \(y\) (рис. 179): \[10mv_1 = 11mv_{2x}, \qquad(1)\] \[mu = 11mv_{2y}. \qquad(2)\] После столкновения станция переходит на эллиптическую орбиту. Энергия станции с застрявшим в ней метеоритом при движении по этой эллиптической орбите остаётся постоянной. Следовательно, \[-G\frac{11mM}{R} + \frac{11m}{2}(v_{2x}^2 + v_{2y}^2) = -G\frac{11mM}{R/2} + \frac{11m}{2}V^2, \qquad(3)\] где \(V\) — скорость станции в момент наибольшего сближения с планетой. Здесь мы используем формулу для потенциальной энергии гравитационного взаимодействия двух тел (\(m_1\) и \(m_2\)): \(W_{\text{п}} = -Gm_1m_2/r\). Согласно второму закону Кеплера, скорость \(V\) и скорость \(v_2\) станции сразу после столкновения связаны соотношением \[VR/2 = v_{2x}R. \qquad(4)\] Решая совместно уравнения (1)–(4) и учитывая, что \(v_1 = \sqrt{GM/R}\), находим скорость метеорита перед столкновением: \[u = \sqrt{58\,GM/R}.\]