Энергия спутника

Потенциальная энергия спутника массой \(m\) на поверхности Земли равна \(U_1 = -\dfrac{GmM_{\text{З}}}{R_{\text{З}}}\), где \(G\) — гравитационная постоянная, \(M_{\text{З}}\) — масса Земли. Пусть спутник вывели на круговую орбиту радиусом \(r\), сообщив ему при этом скорость \(v\). Тогда уравнение движения спутника по орбите имеет вид: \(\dfrac{mv^2}{r} = \dfrac{GmM_{\text{З}}}{r^2}\), а потенциальная и кинетическая энергии спутника равны, соответственно, \(U_2 = -\dfrac{GmM_{\text{З}}}{r}\) и \(W_2 = \dfrac{mv^2}{2}\).

Работа ракетоносителя равна изменению полной механической энергии спутника: \[A = W_2 - W_1 + U_2 - U_1 = \dfrac{mv^2}{2} - 0 - \dfrac{GmM_{\text{З}}}{r} + \dfrac{GmM_{\text{З}}}{R_{\text{З}}}.\] Здесь учтено, что на поверхности Земли перед стартом кинетическая энергия спутника \(W_1 = 0\), поскольку мы пренебрегаем вращением Земли. С учётом уравнения движения из последнего соотношения получаем: \[W_2 = \dfrac{GmM_{\text{З}}}{R_{\text{З}}} - A = mgR_{\text{З}} - A,\] так как выражение для ускорения свободного падения на поверхности Земли имеет вид: \(g = GM_{\text{З}}/R_{\text{З}}^2\).

Это и есть искомая зависимость. График \(W = W_2(A)\) изображён на рисунке.

Он начинается из точки, соответствующей минимально возможной работе \(A_{\min} = mgR_{\text{З}}/2\), которую нужно совершить для того, чтобы вывести спутник на самую низкую орбиту, расположенную у поверхности Земли. При этом совершённая работа пойдёт на разгон спутника до скорости, которая необходима ему для того, чтобы держаться на этой орбите. Максимальная же работа, которую может совершить ракетоноситель, равна \(A_{\max} = mgR_{\text{З}}\). Она должна быть совершена для выведения спутника на самую высокую орбиту, которая бесконечно удалена от Земли. Скорость движения по такой орбите будет равна нулю.