Спутник, неподвижный среди звёзд

Спутник движется по окружности вокруг Земли с центростремительным ускорением. Какова его угловая скорость в системе отсчёта, связанной со звёздами, если он <<неподвижен среди звёзд>>?

Нет: неподвижный относительно звёзд спутник имел бы нулевую угловую скорость и не мог бы двигаться с центростремительным ускорением, а значит, не мог бы вращаться вокруг Земли — он упал бы на Землю.

Что происходит. Спутник удерживает на орбите только сила притяжения Земли, направленная к центру. Чтобы тело двигалось по окружности радиуса \(r\) с угловой скоростью \(\omega\), ему нужно центростремительное ускорение \(\omega^2r\). У спутника, <<висящего над одним пунктом Земли>>, угловая скорость равна угловой скорости вращения Земли в инерциальной системе отсчёта. Угловая скорость спутника, <<неподвижного относительно звёзд>>, в этой системе равна нулю.

Обозначения. Инерциальная система отсчёта — со звёздами, начало — в центре Земли. \(\omega_\text{З}=2\pi/T\), \(T=86164\) с — звёздные сутки; \(M\) — масса Земли.

1. Висит над одним пунктом. Спутник движется по круговой орбите с периодом \(T=86164\) с в плоскости экватора в сторону вращения Земли. Из второго закона Ньютона: \(m\omega_\text{З}^2r=\dfrac{GMm}{r^2}\), откуда \(r=\left(\dfrac{GM}{\omega_\text{З}^2}\right)^{1/3}\approx4{,}2\cdot10^7\) м \(\approx6{,}6\,R_\text{З}\) (высота \(\approx3{,}6\cdot10^7\) м), скорость \(v=\omega_\text{З}r\approx3{,}1\) км/с.

2. Неподвижный среди звёзд. Если направление на спутник от центра Земли не меняется относительно звёзд, угловая скорость радиус-вектора равна нулю: \(\omega=0\). Движение тогда только вдоль луча от центра: \(\vec v=\dot r\,\hat r\), момент импульса \(L=m\,[\vec r\times\vec v]=0\). Центростремительное ускорение \(\omega^2r=0\).

3. Что делает притяжение. Сила тяготения направлена к центру Земли и в этом случае направлена вдоль той же прямой: никакая поперечная составляющая ускорения не возникает, движение остаётся радиальным, и \(\ddot r=-GM/r^2<0\). Радиус уменьшается: тело падает на Землю. Удерживать расстояние постоянным, не вращаясь вокруг Земли, нечем: ни одна другая сила не действует.

Обратите внимание: падающее по лучу тело действительно остаётся <<на фоне одной звезды>>, но расстояние до Земли у него убывает, и спутником (телом на орбите) оно не является. Геостационарный спутник <<неподвижен>> только относительно Земли, а относительно звёзд за сутки делает полный оборот.

Ответ. Нет, нельзя. Спутник с нулевой угловой скоростью в системе звёзд не может иметь центростремительного ускорения и поэтому не может обращаться вокруг Земли; тело, неподвижное относительно звёзд, падает по лучу на Землю. Спутник, неподвижный относительно Земли, возможен: на круговой орбите радиуса \(\approx6{,}6\,R_\text{З}\) в плоскости экватора.

Проверка. Размерность: \(GM/\omega_\text{З}^2\) — (м\(^3\)/с\(^2\))/с\(^{-2}\) = м\(^3\). Проверка периода: \(T=2\pi\sqrt{r^3/(GM)}=2\pi\sqrt{(4{,}22\cdot10^7)^3/3{,}99\cdot10^{14}}\approx8{,}6\cdot10^4\) с — звёздные сутки. Предел: для любой круговой орбиты \(\omega=\sqrt{GM/r^3}>0\) — ноль невозможен.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.