Нейтральный шар и заряд

Потенциал проводника во всех его точках один и тот же. Найдите его в самой удобной точке — в центре шара, где легко сложить вклады заряда \(q\) и индуцированных зарядов.

\(\varphi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0R}\).

Что происходит. Заряд \(q\) перераспределяет свободные заряды шара: на ближней стороне возникают заряды одного знака с \(q\) обратного знака, на дальней — противоположного. Суммарный заряд шара остаётся нулевым. В статике поле внутри металла равно нулю, значит, потенциал во всех точках шара одинаков (и равен потенциалу поверхности). Поэтому достаточно найти потенциал в одной точке — в центре.

Обозначения. \(r\) — радиус шара, \(\Delta q_i\) — индуцированные заряды на малых участках поверхности (\(i\) — номер участка), \(O\) — центр шара. Среда — вакуум (воздух), \(\varepsilon=1\).

1. Принцип суперпозиции. Потенциал в центре есть сумма потенциалов заряда \(q\) и всех индуцированных зарядов: \[\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0R}+\sum_i\frac{\Delta q_i}{4\pi\varepsilon_0r}.\] Расстояние от центра до заряда \(q\) равно \(R\); до любого индуцированного заряда — \(r\) (он лежит на поверхности).

2. Нейтральность. Все \(\Delta q_i\) находятся на одном расстоянии \(r\) от центра, поэтому второе слагаемое \(=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0r}\sum_i\Delta q_i\), а \(\sum_i\Delta q_i=0\) (шар нейтрален и изолирован: заряды только перераспределились). Значит, индуцированные заряды вклада в потенциал центра не дают.

3. Ответ через потенциал центра. Остаётся первое слагаемое: \(\varphi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0R}\). Потенциал всех точек шара тот же.

Обратите внимание: индуцированные заряды искажают поле вокруг шара, но не меняют его потенциал: в центре все они находятся на одном расстоянии \(r\), и сумма зарядов равна нулю. Считать потенциал в какой-то точке поверхности пришлось бы с неравномерным распределением зарядов — это трудно.

Ответ. В буквах: \(\varphi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0R}\) (в среде с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\) — \(\dfrac{q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0R}\)); знак совпадает со знаком \(q\).

Проверка. Размерность: \(q/(\varepsilon_0R)\) — Кл/(Ф/м\(\cdot\)м) = В. Предел \(R\to\infty\): \(\varphi\to0\) — влияние уходящего заряда исчезает. Второй способ: если шар заземлить, \(\varphi=0\), и тот же расчёт даёт \(\sum\Delta q_i=-qr/R\) — известный результат для заземлённого шара; для изолированного нейтрального шара \(\sum\Delta q_i=0\) и \(\varphi=q/(4\pi\varepsilon_0R)\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.