Кастрюля в кастрюле

Чтобы вода закипела, в ней должны расти пузырьки пара. Подумайте, чем отличается вода, в которой растворён воздух, от прокипячённой, и как давление внутри маленького пузырька зависит от его радиуса.

В кипячёной воде нет растворённого воздуха и крупных пузырьков, поэтому она закипает при температуре выше \(100\,^\circ\text{C}\) (перегрев) и передаёт тепло сырой воде, которая кипит уже при \(100\,^\circ\text{C}\).

Что происходит. Кипение — это рост в объёме жидкости пузырьков, внутри которых насыщенный пар. Пузырёк растёт, если давление внутри него превосходит давление снаружи. Снаружи — атмосферное давление, давление столба воды и добавка \(2\sigma/R\) от поверхностного натяжения; она тем больше, чем меньше пузырёк. В сырой воде всегда есть растворённый воздух и готовые крупные пузырьки (на стенках, на пылинках), в кипячёной воздух выделился, остались только очень мелкие пузырьки.

Обозначения. \(R\) — радиус пузырька, \(\sigma\) — поверхностное натяжение воды (\(\approx0{,}059\) Н/м при \(100\,^\circ\text{C}\)), \(p_0\) — давление над водой, \(p_\text{п}\) — давление насыщенного пара, \(p_\text{в}\) — давление воздуха в пузырьке, \(h\) — глубина.

1. Условие роста пузырька. Давление в пузырьке: \(p_\text{п}+p_\text{в}\). Давление в жидкости рядом со стенкой пузырька (механическое равновесие стенки): \(p_0+\rho gh+2\sigma/R\). Пузырёк растёт, если \[p_\text{п}+p_\text{в}>p_0+\rho gh+\frac{2\sigma}{R}.\] Глубиной пренебрегаем.

2. Сырая вода. Там есть пузырьки миллиметровых размеров и воздух в них добавляет \(p_\text{в}\): условие выполняется практически при \(p_\text{п}\approx p_0\), то есть при \(100\,^\circ\text{C}\): добавка \(2\sigma/R\) для \(R\sim0{,}1\)–\(1\) мм составляет от \(0{,}1\) до \(1\) кПа, то есть \(0{,}1\)–\(1\%\) от атмосферного давления.

3. Кипячёная вода. Воздух удалён, крупных зародышей нет, а на мелких (\(R\sim\) единицы–десятки микрометров) добавка \(2\sigma/R\) уже существенна: пар в таком пузырьке должен иметь давление \(p_\text{п}>p_0+2\sigma/R\), а это возможно только при температуре выше \(100\,^\circ\text{C}\). Перегрев находим по зависимости давления насыщенного пара от температуры: на каждый градус давление растёт на \(\approx3{,}6\) кПа. Расчёт по этой зависимости (точная кривая давления пара воды): для \(R=100\) мкм \(\Delta t\approx0{,}3\) К, для \(10\) мкм \(\approx3\) К, для \(1\) мкм \(\approx23\) К.

4. Теплообмен. Греется большая кастрюля, и вода в ней, не имея зародышей кипения, перегревается выше \(100\,^\circ\text{C}\). Сырая вода в маленькой кастрюле, получая тепло от более горячей воды большой кастрюли, быстро достигает \(100\,^\circ\text{C}\) и кипит (температура на этом остаётся постоянной): тепла от большой кастрюли для этого хватает, потому что её вода горячее \(100\,^\circ\text{C}\). Большая кастрюля в этот момент ещё не кипит.

Обратите внимание: давление над пузырьком — это не просто \(p_0\): к нему добавляется \(2\sigma/R\) от поверхностного натяжения, и именно мелкие пузырьки мешают закипеть. Кипячёная вода кипит не <<раньше>> и не <<позже>> сама по себе, а с запозданием, которое определяется отсутствием крупных зародышей пара; в сильно перегретой воде закипание бывает бурным.

Ответ. В кипячёной воде нет растворённого воздуха и крупных пузырьков пара, поэтому она закипает только при перегреве выше \(100\,^\circ\text{C}\); сырая вода кипит при \(100\,^\circ\text{C}\) и закипает раньше, получая тепло от более горячей воды большой кастрюли.

Проверка. Размерность: \(2\sigma/R\) — Н/м\(/\)м = Па, давление. Предел \(R\to\infty\): добавка \(\to0\), температура кипения \(\to100\,^\circ\text{C}\) — как у воды с крупными пузырьками. Оценка перегрева \(\Delta t\approx\dfrac{2\sigma/R}{dp_\text{п}/dt}\) для \(10\) мкм: \(\dfrac{1{,}2\cdot10^4}{3{,}6\cdot10^3}\approx3{,}3\) К — согласуется с точной кривой (\(3{,}1\) К).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.