Корабль у неизвестной планеты
2/10Подлетев к неизвестной планете, космонавты придали своему кораблю соответствующим образом направленную скорость \(V = 10{,}8\) км/с. Эта скорость обеспечила полет корабля вокруг планеты по круговой орбите радиусом \(r = 9000\) км. Каково ускорение свободного падения на поверхности этой планеты, если ее радиус \(R = 8100\) км? Ответ выразите в м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИз движения по круговой орбите найдите произведение \(GM\), затем запишите ускорение на поверхности через \(GM\) и \(R\).
Стационарный спутник Марса
4/10Известно, что сутки на Марсе примерно равны земным суткам, а масса Марса составляет \(0{,}1\) массы Земли. На орбиту какого радиуса надо вывести спутник Марса, чтобы он все время «висел» над одной и той же точкой поверхности? Ответ представьте в тысячах километров и округлите до десятков. Известно, что спутники Земли, «висящие» над одной и той же точкой поверхности, летают по орбите радиусом \(42\) тысячи километров.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПериод спутника равен периоду вращения планеты; как радиус такой орбиты зависит от массы планеты?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(20\) тыс. км
Спутник у белого карлика
5/10Оцените скорость движения спутника по орбите вблизи поверхности звезды — белого карлика. Считайте, что с расстояния в одну астрономическую единицу (это расстояние от Земли до Солнца) белый карлик виден под углом \(0{,}32 \cdot 10^{-4}\) радиан, а масса белого карлика равна массе Солнца. Скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца составляет 30 км/с.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость у поверхности звезды массы \(M\) и радиуса \(R\) равна \(\sqrt{GM/R}\); сравните её со скоростью Земли \(\sqrt{GM/r}\) и найдите отношение \(R\) к астрономической единице по угловому размеру.
Спутник на высоте
1/10Скорость спутника на круговой орбите связана с первой космической; найти высоту, где она в заданное число раз меньше. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Период спутника
2/10Гравитационная сила — центростремительная: период по радиусу орбиты (радиус Земли плюс высота) и массе Земли.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Период спутника на орбите 2R
3/10Центростремительное ускорение спутника создаёт тяготение; GM выражается через g и R — найти период для орбиты радиусом 2R.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Спутник и плотность планеты
3/10Масса планеты через плотность и объём шара; найти ускорение свободного падения вне планеты и период обращения спутника на круговой орбите заданной высоты. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Две планеты и спутники
3/10Планеты одинакового радиуса, но разной плотности; ускорение свободного падения на заданном расстоянии и отношение периодов спутников на круговых орбитах разной высоты (T из закона тяготения, масса через плотность). (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Спутник с двигателем
3/10Спутник у поверхности летит с половиной первой космической скорости; по уравнению центростремительного движения найти радиальную силу тяги и её направление.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Вторая космическая скорость при g(x)
4/10Ускорение свободного падения задано функцией высоты; вторую космическую скорость ищем из работы силы тяжести ∫g(x)dx = v²/2 до обращения силы в нуль.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Спутник с работающим двигателем
4/10Спутник на малой высоте движется вдвое быстрее первой космической скорости орбиты; сила двигателя уравновешивает разность центростремительного ускорения и тяготения (направлена от планеты). Регионы.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Падение спутника после торможения
5/10Скорость спутника на орбите 100 км уменьшили на 1 %: радиальное ускорение почти постоянно, время падения t=√(2h/a), расстояние оценивается как первая космическая скорость × t (около 8000 км).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Спутник и наблюдатель на экваторе
5/10Период спутника на круговой орбите через g и радиус Земли; затем расстояние от наблюдателя на вращающейся Земле до спутника как функция угла между ними — найти момент и значение наибольшей скорости изменения расстояния. (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Спутник и широты приёма
5/10Из геометрии зоны приёма (до 60° широты) найти радиус и период орбиты, затем промежуток между двумя пролётами над космодромом с учётом вращения Земли (варианты 3–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Два спутника над экватором
6/10Угловая скорость спутника из тяготения, наблюдатель вращается вместе с Землёй, спутники летят в разные стороны — разность периодов по вращению.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Спутник в верхних слоях атмосферы
7/10Слабое сопротивление атмосферы с плотностью от r уменьшает радиус орбиты; связь изменения скорости и радиуса и интегрирование даёт время падения.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Температура в центре Солнца
6/10Оцените температуру в центре Солнца. Считайте, что плотность вещества Солнца постоянна, а в центре Солнца атомы водорода полностью распадаются на протоны и электроны, образуя плазму с молярной массой \(\mu = 0{,}5\) г/моль, для которой можно использовать уравнение идеального газа. Первая космическая скорость для Солнца (скорость движения спутника вблизи поверхности Солнца) составляет \(V = 400\) км/с. Универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)К).
Примечание. В качестве правильных принимаются ответы вида \(T \sim \mu V^2/R\) с любым безразмерным коэффициентом порядка единицы. В частности, если ускорение свободного падения всюду считается равным \(g\), баллы за это не снижаются.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДавление в центре оцените как давление столба вещества высотой порядка радиуса Солнца, а ускорение свободного падения выразите через первую космическую скорость.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветТемпература в центре Солнца \(T \approx \dfrac{\mu V^2}{2R} \approx 5\cdot 10^6\) К.
Исследовательский зонд
6/10Исследовательский зонд, находящийся на круговой орбите радиуса \(R\) вокруг планеты Шелезяка, изучает движение Болтика — маленького спутника планеты. Орбита Болтика тоже является круговой с радиусом \(r\) \((r < R)\) и лежит в той же плоскости, что и орбита зонда (см. рис. 1). В процессе наблюдения приборы зонда зафиксировали, что Болтик спустя \(t_1 = 165\) мин после пересечения им видимого края диска планеты оказался на максимальном угловом расстоянии \(\theta_{max} = 15^\circ\) от центра Шелезяки, а ещё спустя некоторое время, большее \(t_1\), снова пересёк край видимого диска планеты. Известно, что между указанными пересечениями других пересечений Болтика с видимым краем планеты не было. Планета Шелезяка имеет форму шара и лишена атмосферы. Масса Болтика много меньше массы планеты, зонд и спутник обращаются вокруг планеты в одну и ту же сторону. Угловой диаметр планеты, наблюдаемый зондом, равен \(2\theta_0 = 6^\circ\). Гравитационная постоянная равна \(G = 6{,}67\cdot10^{-11}\text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2\).
Определите отношение \(R/r\).
Чему равен период обращения зонда \(T\) вокруг Шелезяки?
Найдите среднюю плотность Шелезяки \(\rho\).
Примечание:
Угловым расстоянием между точками \(A\) и \(B\) называется величина угла \(\angle ASB\), на сторонах которого лежат рассматриваемые точки, а вершина \(S\) находится в точке наблюдения (см. рис. 2а).
Угловым диаметром астрономического объекта (например, звезды или планеты) называется величина максимально возможного угла \(\alpha\) между двумя касательными к поверхности рассматриваемого объекта, вершина которого находится в точке наблюдения \(S\) (рис. 2б).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУгловое расстояние до центра планеты максимально, когда луч зрения касается орбиты Болтика. Для зонда спутник обходит свою орбиту равномерно с относительной угловой скоростью \(\omega_\text{с} - \omega_\text{з}\); угол, пройденный за \(t_1\), найдите из геометрии треугольника «зонд — центр — спутник».
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(R/r = 1/\sin\theta_{max} \approx 3{,}864\); 2) \(T \approx 5900\) мин; 3) \(\rho = \dfrac{3\pi}{GT^2\sin^3\theta_0} \approx 7900\text{ кг/м}^3\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеУгловое расстояние между Болтиком и центром Шелезяки будет максимальным, когда прямая «зонд-Болтик» станет касательной к орбите спутника. В этом случае \(\sin\theta_{max} = r/R\), откуда \[\frac{R}{r} = \frac{1}{\sin\theta_{max}} \approx 3{,}864.\]
Пусть \(M\) — масса Шелезяки. Угловые скорости движения спутника и зонда, соответственно, равны \[\omega_\text{с} = \sqrt{\frac{GM}{r^3}}, \quad \omega_\text{з} = \sqrt{\frac{GM}{R^3}} \qquad\Rightarrow\qquad \omega_\text{с} = \omega_\text{з}\left(\frac{R}{r}\right)^{3/2} \approx 7{,}595\,\omega_\text{з}.\] Следовательно, с точки зрения зонда спутник делает один оборот вокруг планеты за время \[T_\text{отн} = \frac{360^\circ}{\omega_\text{с} - \omega_\text{з}} = \frac{360^\circ}{6{,}595\,\omega_\text{з}} = \frac{T}{6{,}595}.\]
Чтобы найти \(T_\text{отн}\), сделаем чертёж (см. рис.), где точка \(O\) — центр планеты, точка \(S\) — исследовательский зонд, а нарисованная окружность — орбита Болтика. В точках \(A\) или \(C\) спутник находится на краю видимого диска планеты, а точка \(B\) соответствует максимальному угловому расстоянию между центром Шелезяки и Болтиком (при наблюдении с зонда). Из геометрии рисунка \(\angle ASB = \theta_{max} - \theta_0 = 12^\circ\), \(\angle ODA = 90^\circ + \angle ASB = 102^\circ\). По теореме синусов для треугольника \(\triangle SOA\) \[\frac{R}{\sin(\angle OAS)} = \frac{r}{\sin\theta_0},\]
откуда, учитывая, что \(\angle OAS > 90^\circ\), получим, что \[\sin(\angle OAS) = \frac{R}{r}\cdot\sin\theta_0 = 3{,}864\cdot\sin3^\circ \approx 0{,}202 \qquad\Rightarrow\qquad \angle OAS \approx 168{,}334^\circ.\] Найдём угол \(\angle AOB\): \[\angle AOB = \angle OAS - \angle ODA = 66{,}334^\circ.\] Так как движение по окружности равномерное, \(\angle AOB = 360^\circ t_1/T_\text{отн}\), откуда \[T_\text{отн} = \frac{360^\circ}{66{,}334^\circ}\cdot t_1 \approx 5{,}43\cdot165\text{ мин} \approx 895\text{ мин}.\] С учётом того, что \(T = 6{,}595\,T_\text{отн}\), получим \[T \approx 5900\text{ мин}.\]
Пусть \(R_\text{Ш}\) — радиус Шелезяки, тогда \[\sin\theta_0 = \frac{R_\text{Ш}}{R} \qquad\Rightarrow\qquad R_\text{Ш} = R\sin3^\circ \approx 0{,}0523R.\] Записывая массу планеты как \(M = 4\pi R_\text{Ш}^3\rho/3\) и подставляя её в выражение для угловой скорости движения зонда по орбите, получим \[\omega_\text{з}^2 = \frac{G\cdot 4\pi R_\text{Ш}^3\rho/3}{R^3} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{4\pi^2}{T^2} = \frac{4\pi G}{3}\cdot\rho\cdot0{,}0523^3,\] откуда \[\rho = \frac{3\pi}{GT^2\cdot0{,}0523^3} \approx 7900\text{ кг/м}^3.\]
Затмения звезды на экваторе планеты
4/10Планета и спутник вращаются в одну сторону; найти период повторения затмения как совпадение вращений (синодические периоды).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
В пузыре
6/10Условие, что наблюдатель внутри водной планеты видит всё небо, связывает глубину с предельным углом преломления; отсюда радиус планеты, масса через плотность и скорость спутника на низшей орбите.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
«Тёмная материя»
7/10Звёзды кольца вращаются с одинаковой скоростью независимо от радиуса; по скорости на краю ядра найти массу и плотность ядра, затем по закону тяготения и теореме Гаусса — профиль плотности тёмной материи и её массу.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.