Торможение у Луны

Парабола соответствует нулевой полной энергии корабля в поле Луны, круговая орбита у поверхности — движению с центростремительным ускорением \(g_{\text{л}}\). Для доли горючего свяжите изменение скорости корабля с выброшенной массой законом сохранения импульса за малое время.

Скорость уменьшится на \(\Delta v=(\sqrt2-1)\sqrt{g_{\text{л}}R_{\text{л}}}\approx0{,}70\cdot10^3\) м/с (с \(2{,}4\cdot10^3\) до \(1{,}7\cdot10^3\) м/с). Горючее составляет \(1-e^{-\Delta v/v}\approx16\,\%\) начальной массы (грубая оценка выбросом одной порции даёт около \(15\,\%\)).

Что происходит. В точке наибольшего сближения корабль летит по касательной к поверхности. По параболе он имеет скорость, при которой полная энергия в поле Луны равна нулю; чтобы остаться на круговой орбите, нужна меньшая скорость, при которой притяжение как раз создаёт центростремительное ускорение. Разность этих двух скоростей — то, на сколько нужно затормозить. Главная идея: две скорости в одной точке находятся из закона сохранения энергии и второго закона Ньютона; масса сожжённого горючего — из закона сохранения импульса при выбросе газов.

Обозначения. \(R=R_{\text{л}}\), \(g=g_{\text{л}}\), \(M_{\text{л}}\) — масса Луны, \(m\) — масса корабля, \(P\) — точка наибольшего сближения (расстояние \(R\) от центра Луны), \(v_{\text{II}}\) — скорость корабля в \(P\) до торможения, \(v_{\text{I}}\) — на круговой орбите. Притяжением Земли и Солнца пренебрегаем, торможение считаем мгновенным.

1. Скорость на параболе. Корабль движется только под действием притяжения Луны, поэтому его полная энергия сохраняется. На параболе корабль приходит из бесконечности, где его скорость стремится к нулю, а потенциальная энергия равна нулю: полная энергия равна нулю. Закон сохранения энергии корабля между бесконечностью и точкой \(P\), с учётом \(\gamma M_{\text{л}}=gR^2\) (ускорение свободного падения на поверхности): \[\frac{mv_{\text{II}}^2}{2}-\gamma\frac{M_{\text{л}}m}{R}=0\quad\Rightarrow\quad v_{\text{II}}=\sqrt{2gR}\approx2{,}4\cdot10^{3}\ \text{м/с}.\]

2. Скорость на круговой орбите. Второй закон Ньютона для корабля в проекции на радиус (центростремительное ускорение даёт только притяжение Луны): \[\frac{mv_{\text{I}}^2}{R}=mg\quad\Rightarrow\quad v_{\text{I}}=\sqrt{gR}=1{,}7\cdot10^{3}\ \text{м/с}.\]

3. Изменение скорости. Торможение направлено по скорости, так что \[\Delta v=v_{\text{II}}-v_{\text{I}}=(\sqrt2-1)\sqrt{gR}\approx0{,}41\cdot1{,}7\cdot10^{3}\approx0{,}70\cdot10^{3}\ \text{м/с}.\]

4. Горючее: оценка порцией. Перейдём в систему отсчёта, в которой корабль до торможения покоится. Допустим, продукты сгорания массой \(m_{\text{г}}\) выброшены одной порцией вперёд со скоростью \(v\) относительно корабля. Закон сохранения импульса системы «корабль + горючее» (внешних сил за время выброса нет): корабль массой \(M_0-m_{\text{г}}\) приобретает скорость \(\Delta v\) назад: \[(M_0-m_{\text{г}})\,\Delta v=m_{\text{г}}v\quad\Rightarrow\quad\frac{m_{\text{г}}}{M_0}=\frac{\Delta v}{v+\Delta v}\approx\frac{0{,}70}{4{,}70}\approx0{,}15 .\]

5. Горючее: точнее. На самом деле газ выбрасывается постоянно, и масса корабля падает. Рассмотрим малый промежуток времени \(dt\): масса корабля меняется на \(dM<0\) (выброшена масса \(-dM\) вперёд со скоростью \(v\) относительно корабля), скорость корабля вперёд по движению уменьшается на \(du>0\). В системе отсчёта, где корабль в начале промежутка покоится, закон сохранения импульса: \(M\,du=-v\,dM\), откуда \(du=-v\,\dfrac{dM}{M}\). Суммируем по всему торможению — от начальной массы \(M_0\) до конечной \(M\): \[\Delta v=v\ln\frac{M_0}{M}\quad\Rightarrow\quad\frac{M}{M_0}=e^{-\Delta v/v}=e^{-0{,}176}\approx0{,}84,\qquad \frac{m_{\text{г}}}{M_0}=1-e^{-\Delta v/v}\approx0{,}16 .\]

Обратите внимание. Корабль тормозится, поэтому газ выбрасывается вперёд по движению, а не назад: реактивная сила направлена против скорости. Оценка порцией занижает долю горючего: в ней весь газ выброшен «со старой» скоростью корабля, а на деле в конце торможения корабль уже медленнее, и газ выбрасывается относительно него.

Ответ. \(\Delta v=(\sqrt2-1)\sqrt{g_{\text{л}}R_{\text{л}}}\approx0{,}70\) км/с (скорость уменьшается); \(m_{\text{г}}/M_0\approx16\,\%\) (оценка порцией: \(\approx15\,\%\)).

Проверка. Размерность: \(\sqrt{gR}\) — м/с. Предельный случай: при \(v\gg\Delta v\) формула Циолковского даёт \(m_{\text{г}}/M_0\approx\Delta v/v=0{,}18\), а порцией \(\Delta v/(v+\Delta v)\approx\Delta v/v\) — обе стремятся к одному и тому же, при \(\Delta v/v=0{,}176\) различаются на \(1\,\%\) массы. Знак: тормозить нужно (параболическая скорость больше круговой в \(\sqrt2\) раз), поэтому \(\Delta v>0\) и скорость уменьшается.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.