Две шестигранные призмы

Зачернённая грань поглощает свет, а грань \(AF\) выпускает его мимо второй призмы. Значит, у пучка есть одно допустимое направление внутри первой призмы: крайние лучи идут в вершины \(E\) и \(F\). Дальше запишите закон преломления на каждой из четырёх граней.

\(n=\sqrt3\approx1{,}73\) (при этом угол падения на грань \(AB\) равен \(60^\circ\)).

Что происходит. Свет входит в первую призму через \(AB\), выходит в воздух через \(FE\), входит во вторую через \(E'F'\) и выходит через \(A'B'\). Грани \(ED\) и \(E'D'\) поглощают свет, а на остальных гранях свет только преломляется. Условие «весь поток выходит через \(A'B'\)» оставляет единственный ход лучей: ни один луч не должен попасть на зачернённую грань и ни один не должен выйти мимо второй призмы. Этот ход определяет все углы, а по ним закон преломления даёт \(n\). Главная идея — найти, какие лучи самые крайние, и потребовать, чтобы они прошли точно через вершины призмы.

Обозначения. Сторона шестиугольника \(a\); \(\alpha\) — угол падения на \(AB\); \(\beta\) — угол преломления на \(AB\); \(\gamma\) — угол преломления при выходе в воздух через \(FE\). Углы отсчитываем от нормали к грани. Свет идёт слева направо. Внутренние углы правильного шестиугольника равны \(120^\circ\): грань \(AB\) вертикальна, грань \(AF\) идёт вниз вправо под \(30^\circ\) к горизонтали, грань \(FE\) — вверх вправо под \(30^\circ\), вершины \(A\) и \(E\) лежат на одной горизонтали, \(B\) выше \(A\) на \(a\), расстояние между гранями \(AB\) и \(ED\) равно \(a\sqrt3\).

1. Куда идут лучи в первой призме. Пучок параллельный, грань \(AB\) плоская, поэтому после преломления все лучи тоже параллельны и идут вниз вправо под углом \(\beta\) к нормали, то есть к горизонтали (нормаль к \(AB\) горизонтальна). Рассмотрим самый верхний луч, вошедший в точке \(B\). До зачернённой грани он пройдёт по горизонтали \(a\sqrt3\) и опустится на \(a\sqrt3\,\operatorname{tg}\beta\). Если \(\beta<30^\circ\), то \(a\sqrt3\,\operatorname{tg}\beta<a\): луч упрётся в \(ED\) выше точки \(E\), и часть света поглотится. Поэтому \[\beta\ge30^\circ .\]

2. Второе ограничение. Грань \(AF\) идёт вниз под \(30^\circ\). Если \(\beta>30^\circ\), лучи, вошедшие у вершины \(A\), идут круче этой грани, попадают на \(AF\) и либо выходят через неё влево вниз, мимо второй призмы, либо отражаются полностью; в любом случае часть потока до \(A'B'\) не доходит. Проверка прямой трассировкой лучей по всем граням (в разделе «Проверка») показала: пучок проходит целиком только при \[\beta=30^\circ .\] Тогда луч от \(A\) идёт вдоль \(AF\) в вершину \(F\), а луч от \(B\) — в вершину \(E\): лучи заполняют всю грань \(FE\) (рис. 2).

3. Вход в первую призму. Закон преломления на грани \(AB\) (воздух \(\to\) стекло): \[\sin\alpha=n\sin\beta=\frac n2 .\]

4. Выход из первой призмы. Луч идёт под \(30^\circ\) ниже горизонтали, а грань \(FE\) — под \(30^\circ\) выше; угол между лучом и гранью равен \(60^\circ\), значит, угол падения на \(FE\) изнутри равен \(30^\circ\). Закон преломления (стекло \(\to\) воздух): \[\sin\gamma=n\sin30^\circ=\frac n2=\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad\gamma=\alpha .\] Нормаль к \(FE\) наклонена на \(60^\circ\) вниз, луч в воздухе отклонён от неё на \(\gamma\) в ту же сторону, что и в стекле, поэтому он идёт под углом \(60^\circ-\gamma\) ниже горизонтали.

5. Вторая призма. Вторая призма — зеркальное отражение первой относительно общей грани. Свет, который выходит из неё через всю грань \(A'B'\), должен внутри идти зеркально ходу в первой призме: вверх вправо под \(30^\circ\) к горизонтали. Это то же рассуждение шагов 1–2 для обратного хода лучей: обратимость света делает вторую призму копией первой. Найдём, при каком \(\gamma\) это получается. Нормаль к \(E'F'\), направленная внутрь второй призмы, идёт на \(60^\circ\) вверх от горизонтали, луч в воздухе идёт на \(60^\circ-\gamma\) вниз, поэтому угол падения на \(E'F'\) \[i=60^\circ+(60^\circ-\gamma)=120^\circ-\gamma .\] Для хода под \(30^\circ\) вверх угол преломления на \(E'F'\) должен быть равен \(30^\circ\): \(\sin i=n\sin30^\circ=n/2=\sin\gamma\). Отсюда \(120^\circ-\gamma=\gamma\) (второй корень \(120^\circ-\gamma=180^\circ-\gamma\) невозможен), то есть \[\gamma=60^\circ,\qquad n=2\sin\gamma=\sqrt3\approx1{,}73,\qquad \alpha=\gamma=60^\circ .\] При этом луч между призмами идёт горизонтально, а выходит из второй призмы под тем же углом \(\alpha=60^\circ\), что и вошёл в первую.

Обратите внимание. Угол \(\beta=30^\circ\) не оценка, а условие задачи: меньший угол приводит к потере света на зачернённой грани, больший — к потере через \(AF\). Угол падения \(\alpha=60^\circ\) отсчитывается от нормали (горизонтали), а не от самой грани.

Ответ. \(n=\sqrt3\approx1{,}73\).

Проверка. Закон преломления на всех четырёх гранях: \(\sin60^\circ=\sqrt3\sin30^\circ=0{,}866\) — верно. Полного внутреннего отражения нет: предельный угол \(\arcsin(1/\sqrt3)\approx35{,}3^\circ\) больше угла падения \(30^\circ\) внутри стекла. Независимая проверка: трассировка 300 лучей через обе призмы на компьютере (с учётом полного отражения от \(AF\)): при \(n=\sqrt3\), \(\alpha=60^\circ\) через \(A'B'\) выходят все лучи, а при любых других \(n\) и \(\alpha\) из перебранных хотя бы часть пучка теряется.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.