Призма на воде

Пусть показатель преломления стекла равен \(n\). Выполним рисунок, поясняющий ход луча (рис. 24). Запишем закон Снелла для луча, преломляющегося на гранях \(AC\) и \(AB\): \[\text{для грани } AC:\quad \sin\varphi_0 = n\sin\varphi_1; \qquad \text{для грани } AB:\quad n_0\sin\varphi_0 = n\sin\varphi_2.\] Разделим почленно второе уравнение на первое: \[n_0 = \frac{\sin\varphi_2}{\sin\varphi_1}.\] Так как призма равнобедренная и прямоугольная, то угол \(\alpha = 45^\circ\). Для треугольника \(DEF\) угол \(\alpha_1\) — внешний. По теореме о внешнем угле треугольника: \[\varphi_1 + \varphi_2 = \alpha_1.\] Заметим, что углы \(\alpha\) и \(\alpha_1\) равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. С учётом двух последних соотношений получим: \[n_0 = \frac{\sin(\alpha - \varphi_1)}{\sin\varphi_1} = \frac{\cos\varphi_1 - \sin\varphi_1}{\sqrt{2}\,\sin\varphi_1} = \frac{1 - \mathrm{tg}\,\varphi_1}{\sqrt{2}\,\mathrm{tg}\,\varphi_1}.\] Подставив в уравнение значение \(n_0\), окончательно получим: \[\mathrm{tg}\,\varphi_1 = \frac{3}{4\sqrt{2}+3} \approx 0{,}347,\] откуда \(\varphi_1 \approx 19{,}1^\circ\).